《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）参数估计

参数估计

参数估计

提纲 口矩估计( The method of moments) 口极大似然估计( The method of maximum Likelihood) 口估计量的评选标准 口区间估计

提纲  矩估计(The Method of Moments)  极大似然估计（The Method of Maximum Likelihood）  估计量的评选标准  区间估计 2

点估计 参数的点估计就是对总体分布中的未知 参数,以样本X1,X2,…X构造统计量 0(X1,X2,…,Xxn)作为参数0的估计,称 0(CX1,X2,…,X)为参数日估计量。 当测得样本值(x,x2,x)时,代入0, 即可得到参数0估计值:0(x1,x2,…,x,)

点估计 3 参数的点估计就是对总体分布中的未知 参数θ, 以样本X1 , X2 , ... Xn构造统计量 作为参数θ的估计, 称 θ ˆ ( , , , ) X X X 1 2 n 为参数θ估计量。 当测得样本值(x1 , x2 ,…, xn)时, 代入 ， 即可得到参数θ估计值： θ ˆ θ 1 2 ˆ ( , , , ) n x x x θ 1 2 ˆ ( , , , ) X X X n

区间估计 参数的区间估计是对总体分布中的未知 参数,以样本X1,X2,…X构造2个统计 量1(K1,X2,,XKn)和2(X1,X2,…,Xn), 以区间(1,02)作为参数0的估计。 对给定的概率1-a,满足: P(61(X1,X2,…,Mn)<<62(X1,X2,…,Xn)=1-a

区间估计 4 参数的区间估计是对总体分布中的未知 参数θ, 以样本X1 , X2 , ... Xn构造2个统计 量 𝜽 ෡ 𝟏 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … ,𝑿𝒏 和𝜽 ෡ 𝟐 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … ,𝑿𝒏 ， 以区间 作为参数θ的估计。 对给定的概率1- α，满足： θ θ 1 2 ˆ ˆ ( , ) 𝑃 𝜽 ෡ 𝟏 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 < 𝜽 < 𝜽 ෡ 𝟐 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … ,𝑿𝒏 = 𝟏 − 𝜶

矩估计 原则:以样本矩作为总体矩的估计, 从而得到参数的估计量

矩估计 5 原则：以样本矩作为总体矩的估计， 从而得到参数的估计量

矩估计 对随机变量X和非负整数k,若E(X)存 在,则称E(X)为X的k阶原点矩,简称k 阶矩;若E(X-E(X)存在,则称 E(x-E(x)为x的阶中心矩 期望是一阶矩,方差是2阶中心距

矩估计 6 对随机变量𝑿和非负整数𝒌，若𝑬 𝑿 𝒌 存 在，则称𝑬 𝑿 𝒌 为𝑿的𝒌阶原点矩，简称𝒌 阶矩；若𝑬 𝑿 − 𝑬 𝑿 𝒌 存在，则称 𝑬 𝑿 − 𝑬 𝑿 𝒌 为𝑿的𝒌阶中心矩. 期望是一阶矩，方差是2阶中心距

矩估计 设总体X的分布类型已知,X的分布函数为 F(x;61,02,…,6k) 其中,1,02,…,01k为未知参数 设X,X2…,Xn为来自总体X的样本, 若EXm=m(01,62,,1)存在m=1,…,k) m阶样本矩为An=21X(m=1…,k)

矩估计 7 m阶样本矩为𝑨𝒎 = 𝟏 𝒏 σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑿𝒊 𝒎 (𝒎 = 𝟏,… , 𝒌) 设总体X的分布类型已知，X的分布函数为 设X1 , X2 , ... , Xn为来自总体X的样本， 𝐹(𝑥; 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘) 其中，𝜽𝟏,𝜽𝟐,… , 𝜽𝒌为未知参数. 若𝑬𝑿 𝒎 = 𝝁𝒎(𝜽𝟏,𝜽𝟐,… , 𝜽𝒌)存在 (𝒎 = 𝟏,… , 𝒌)

矩估计 1(1,02,…6k)=A1 (日 1,02 6 k k 这是包含k个未知参数1…,O的方程组 从中解出方程组的解,…, 用O,,日分别作为,…,日的估计量, 这一方法称为矩估计法。 这种估计量称为矩估计量;矩估计量的 观察值称为矩估计值

矩估计 8 1 1 , , ˆ ˆ k k k     这是包含 个未知参数 的方程组， 从中解出方程组的解 ， ， 。 1 1 ˆ ˆ     k k 用 ， ， 分别作为 ， ， 的估计量， 这一方法称为矩估计法。 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的 观察值称为矩估计值。 令 ቐ 𝜇1 𝜃1 , 𝜃2 ,… , 𝜃𝑘 = 𝐴1 … 𝜇𝑘 𝜃1 , 𝜃2 ,… , 𝜃𝑘 = 𝐴𝑘

矩估计:一个未知参数 1)先求出EX=() 2)解出6=g(EX) 3)0=8(∑X)为矩估计量

矩估计：一个未知参数 9 1）先求出EX=𝜇(𝜃) 2）解出 𝜃=g(EX) 3） 为矩估计量。 1 1 ˆ ( ) n i i g X n  = = 

矩估计:两个未知参数 1)计算EX,EX2EX=4(,02) EX 2)解出a,B2,用EY,EX2表示 8=fEX,EX) 1 e=fEDEX) 3)用X代替EX,用∑x代替EX2,有 f(x,∑x 即为,B2的矩估计量 a2=f2(,∑X

矩估计：两个未知参数 10 1）计算 2 E , E X X 1 1 2 2 2 1 2 E ( , ) E ( , ) X X       = = 2）解出  1 2 , ，用 E , E X X 2 表示 2 1 1 2 2 2 (E ,E ) (E ,E ) f X X f X X    =   = 3）用 X 代替 EX ，用 代替 EX 2 ，有 2 1 1 n i i X n =  2 1 1 1 2 2 2 1 1 ˆ ( , ) 1 ˆ ( , ) n i i n i i f X X n f X X n   = =  =     =    即为  1 2 , 的矩估计量