《工程优化》课程教学资源（PPT课件讲稿）工程优化设计中的数学方法（硕士研究生）

工程优化 硕士研究生课程 教材:《最优化计算方法》陈开周 参考书:《最优化理论与算法》陈宝林 任课教师:叶峰时间:周2,5晚 E-mail:yefeng2323(@126.com 考核方式:平时成绩(20%含作业和考勤)+期末闭卷考试(80%)! 作业:按章交作业—每章结束的下一次课交作业 注:1)以活页纸方式提交,写清楚姓名、学号、院系专业 2)作业原件留作记录成绩依据,不发还,请自行复印留底 3)合适时间课堂讲解作业或公布答案(建议大家课间答疑)

工程优化 硕士研究生课程 任课教师：叶峰 时间： 周2, 5晚 E-mail: yefeng2323@126.com 考核方式： 平时成绩(20%含作业和考勤)+期末闭卷考试(80%)! 作业：按章交作业——每章结束的下一次课交作业. 注：1)以活页纸方式提交，写清楚姓名、学号、院系专业. 2) 作业原件留作记录成绩依据，不发还，请自行复印留底. 3) 合适时间课堂讲解作业或公布答案(建议大家课间答疑). 教材： 《最优化计算方法》陈开周 参考书：《最优化理论与算法》陈宝林

第一章基础知识 背景知识 °最优化问题举例 ●优化问题的数学模型及其分类 °最优解与极值点

⚫ 背景知识 ⚫ 最优化问题举例 ⚫ 优化问题的数学模型及其分类 ⚫ 最优解与极值点 第一章 基础知识

81背景知识 最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展,并成为 门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题 是在一定的限制条件下,在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策,搜寻最 优方案的方法称为最优化方法,关于最优化方法的数学理论称 为最优化理论 最优化问题至少有两要素:一是可能的方案;二是要追求 的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为 静态最优化问题,否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题

§1 背景知识 最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为 一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题 是在一定的限制条件下，在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最 优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称 为最优化理论。 最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求 的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为 静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题

最优化技术应用范围十分广泛,在我们日常生活中,在工农 业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 比如:结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设 计、化工工程最优设计、运输方案、机器最优配备、油田开发 水库调度、饲料最优配方、食品结构优化等等。 最优化技术工作被分成两个方面,一是由实际产生或科技问 题形成最优化的数学模型,二是对所形成的数学问题进行数学加 工和求解。对于第二方面的工作,目前已有一些较系统成熟的资 料,但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型,目 前很少有系统的资料,而这一工作在应用最优化技术解决实际问 题时是十分关键的基础,没有这一工作,最优化技术将成为无水 之源,难以健康发展

最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农 业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 比如：结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设 计、化工工程最优设计、运输方案、机器最优配备、油田开发、 水库调度、饲料最优配方、食品结构优化等等。 最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际产生或科技问 题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加 工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资 料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目 前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问 题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水 之源，难以健康发展

因此,在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问 题形成最优化的数学模型。为了便于大家今后在处理实 际问题时建立最优化数学模型,下面我们先把有关数学 模型的一些事项作一些说明。 数学模型:对现实事物或问题的数学抽象或描述 建立数学模型时要尽可能简单,而且要能完整地描述所 研究的系统,但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果 可能不符合实际情况,而过于详细复杂的模型又给分析计算 带来困难。因此,具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验 和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后,通常也 必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算

因此，在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问 题形成最优化的数学模型。为了便于大家今后在处理实 际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关数学 模型的一些事项作一些说明。 数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。 建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果 可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分析计算 带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验 和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也 必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算

般的模型简化工作包括以下几类: (1)将离散变量转化为连续变量。 (2)将非线性函数线性化。 (3)删除一些非主要约束条件

一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件

建立最优化问题数学模型的三要素 (1)决策变量和参数 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量,有确定性的也有随机性的。 (2)约束或限制条件 由于现实系统的客观物质条件限制,模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内,即约束条件,而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的。 (3)目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率,即系统追求的目标

建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 （2）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率，即系统追求的目标

优化建模( mode ing):识别出给定问题的目标、 变量和约束的过程。 ●建立恰当模型:第一步、最重要的一步(太简单一不 能给实际问题提供有用的信息;太复杂一不易求解) ●选择特定算法:很重要一决定求解速度及质量(无通 用优化算法,有求解特定类型优化问题的算法)

优化建模（modeling）：识别出给定问题的目标、 变量和约束的过程。 ⚫ 建立恰当模型：第一步、最重要的一步（太简单—不 能给实际问题提供有用的信息；太复杂—不易求解） ⚫ 选择特定算法：很重要—决定求解速度及质量（无通 用优化算法，有求解特定类型优化问题的算法）

82最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。 例1.把半径为1的实心金属球熔化后,铸成一个实心圆柱体, 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小? 解:决定圆柱体表面积大小有两个决策变量:圆柱体底面半 径r、高h 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即 丌r2·hp==xRp p为金属比重p≠0.R=1

§2 最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。 例1.把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即 2 3 4 3     r h R   =  为金属比重.  0.R =1

丌r2h=-丌 r2h-=0 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 mh+2丌r mn2丌rh+2丌 则得原问题的数学模型: s.t. rh s→> Subject to.(以,为条件) 利用在高等数学中所学的 Lagrange乘子法可求解本问题 L(,,2=27mh+2x2-1h 分别对;h,求偏导数,并令其等于零有:

即 , 即 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 min 则得原问题的数学模型： s.t. Subject to.(以…为条件) 利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题 分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零. 有:   3 2 4 r h = 0 3 2 4 r h − = ( ) 2 2rh + 2 r ( ) 2 2 min 2 2 4 . . 0 3   rh r s t r h  +    − =   ( ) 2 2 4 , , 2 2 3 L r h rh r r h       = + − −    