《数学建模》课程教学资源（PPT专题讲稿）数据处理专题

数据处理专题 元数据处理方法 多元数据处理方法 如何写好建模竞赛论文

一. 一元数据处理方法 二. 多元数据处理方法 三.如何写好建模竞赛论文 数据处理专题

数据处理是指用简明而严格的方 法把获得的实验数据所代表的事 物内在的规律提炼出来,得出结 果的加工过程,包括数据记录、 描绘曲线,从带有误差的数据中 提取参数,验证和寻找经验规律 外推实验数据等等。本章介绍 些最基本的数据处理方法

数据处理是指用简明而严格的方 法把获得的实验数据所代表的事 物内在的规律提炼出来，得出结 果的加工过程，包括数据记录、 描绘曲线，从带有误差的数据中 提取参数，验证和寻找经验规律， 外推实验数据等等。本章介绍一 些最基本的数据处理方法

1.一元数据处理方法 1插值 2拟合及线性回归 在解决实际问题的生产(或工程)实践和科 学实验过程中,通常需要通过研究某些变量之 间的函数关系来帮助我们认识事物的内在规律 和本质属性,而这些变量之间的未知函数关系 又常常隐含在从试验、观测得到的一组数据之 中。因此,能否根据一组试验观测数据找到变 量之间相对准确的函数关系就成为解决实际问 题的关键

1.插值 2.拟合及线性回归 1. 一元数据处理方法 在解决实际问题的生产（或工程）实践和科 学实验过程中，通常需要通过研究某些变量之 间的函数关系来帮助我们认识事物的内在规律 和本质属性，而这些变量之间的未知函数关系 又常常隐含在从试验、观测得到的一组数据之 中。因此，能否根据一组试验观测数据找到变 量之间相对准确的函数关系就成为解决实际问 题的关键

例如在工程实践和科学实验中,常常需要从一组试验观测 数据(xy),i=0,1,…,n之中找到自变量x与因变量y之间的 函数关系,一般可用一个近似函数y=f(x)来表示。函数 y=f(x)的产生办法因观测数据和要求不同而异,通常可采用 数据拟合与函数插值两种办法来实现。 数据拟合主要是考虑到观测数据受随机观测误差的影响, 进而寻求整体误差最小、能较好反映观测数据的近似函数y= f(x),此时并不要求所得到的近似函数y=f(x)满足 y=f(X),j=0,1,,n 函数插值则要求近似函数y=f(×)在每一个观测点x处一定 要满足y闩=f(x),j=0,1,,,在这种情况下,通常要求 观测数据相对比较准确,即不考虑观测误差的影响

例如在工程实践和科学实验中，常常需要从一组试验观测 数据(xi ,yi ) ，i = 0,1,....,n之中找到自变量x与因变量y 之间的 函数关系，一般可用一个近似函数y = f (x)来表示。函数 y = f (x)的产生办法因观测数据和要求不同而异，通常可采用 数据拟合与函数插值两种办法来实现。 数据拟合主要是考虑到观测数据受随机观测误差的影响， 进而寻求整体误差最小、能较好反映观测数据的近似函数y = f (x)，此时并不要求所得到的近似函数y = f (x)满足 yi= f (xi) ， i = 0,1,…,n。 函数插值则要求近似函数y = f (x)在每一个观测点 xi 处一定 要满足y i= f (xi) ， i = 0,1,…,n ，在这种情况下，通常要求 观测数据相对比较准确，即不考虑观测误差的影响

在实际问题中,通过观测数据能否正确揭示某些变量之 间的关系,进而正确认识事物的内在规律与本质属性, 往往取决于两方面因素。其一是观测数据的准确性或准 确程度,这是因为在获取观测数据的过程中一般存在随 机测量误差,导致所讨论的变量成为随机变量。其二是 对观测数据处理方法的选择,即到底是采用插值方法还 是用拟合方法,插值方法之中、拟合方法之中又选用哪 种插值或拟合技巧来处理观测数据。插值问题忽略了 观测误差的影响,而拟合问题则考虑了观测误差的影响 但由于观测数据客观上总是存在观测误差,而拟合函数 大多数情况下是通过经验公式获得的,因此要正确揭示 事物的内在规律,往往需要对大量的观测数据进行分析, 尤为重要的是进行统计分析。统计分析的方法有许多, 如方差分析、回归分析等

在实际问题中，通过观测数据能否正确揭示某些变量之 间的关系，进而正确认识事物的内在规律与本质属性， 往往取决于两方面因素。其一是观测数据的准确性或准 确程度，这是因为在获取观测数据的过程中一般存在随 机测量误差，导致所讨论的变量成为随机变量。其二是 对观测数据处理方法的选择，即到底是采用插值方法还 是用拟合方法，插值方法之中、拟合方法之中又选用哪 一种插值或拟合技巧来处理观测数据。插值问题忽略了 观测误差的影响，而拟合问题则考虑了观测误差的影响。 但由于观测数据客观上总是存在观测误差，而拟合函数 大多数情况下是通过经验公式获得的，因此要正确揭示 事物的内在规律，往往需要对大量的观测数据进行分析， 尤为重要的是进行统计分析。统计分析的方法有许多， 如方差分析、回归分析等

数据拟合虽然较有效地克服了随机观测误差的影响, 但从数理统计的角度看,根据一个样本计算出来的拟合 函数(系数),只是拟合问题的一个点估计,还不能完 全说明其整体性质。因此,还应该对拟合函数作区间估 计或假设检验,如果置信区间太大或包含零点,则由计 算得到的拟合函数系数的估计值就毫无意义。这里所采 用的统计分析方法就是所谓的回归分析。另外还可用方 差分析的方法对模型的误差作定量分析 对于插值方法,本文简单介绍最常用的插值法的基本 结论及其 Matlab实现问题。由于数据拟合问题必须作区 间估计或假设检验,所以除了介绍最基本的数据拟合方 法一一最小二乘法的基本结论及其 Matlab实现问题外, 我们专门介绍了对数值拟合问题进行区间估计或假设检 验的统计方法

数据拟合虽然较有效地克服了随机观测误差的影响， 但从数理统计的角度看，根据一个样本计算出来的拟合 函数（系数），只是拟合问题的一个点估计，还不能完 全说明其整体性质。因此，还应该对拟合函数作区间估 计或假设检验，如果置信区间太大或包含零点，则由计 算得到的拟合函数系数的估计值就毫无意义。这里所采 用的统计分析方法就是所谓的回归分析。另外还可用方 差分析的方法对模型的误差作定量分析。 对于插值方法，本文简单介绍最常用的插值法的基本 结论及其Matlab实现问题。由于数据拟合问题必须作区 间估计或假设检验，所以除了介绍最基本的数据拟合方 法——最小二乘法的基本结论及其Matlab实现问题外， 我们专门介绍了对数值拟合问题进行区间估计或假设检 验的统计方法

即介绍回归分析方法及其Maab实现。 数据处理问题通常情况下只是某个复杂实际问 题的一个方面或部分内容,因而这里所介绍的数 据处理方法——函数插值和数据拟合的方法(包 括回归分析)通常只能解决实际问题中的部分问 题——计算问题。一般来说,对实际问题进行数 学建模需要用到多方面知识,只有很少的情况下 可以单独使用本章所介绍的内容,故我们最后以 修改后的美国91年数学建模A题为例说明如何使用 数值计算知识建立数学模型,从而解决实际问题 的方法

即介绍回归分析方法及其Matlab实现。 数据处理问题通常情况下只是某个复杂实际问 题的一个方面或部分内容，因而这里所介绍的数 据处理方法——函数插值和数据拟合的方法（包 括回归分析）通常只能解决实际问题中的部分问 题——计算问题。一般来说，对实际问题进行数 学建模需要用到多方面知识，只有很少的情况下 可以单独使用本章所介绍的内容，故我们最后以 修改后的美国91年数学建模A题为例说明如何使用 数值计算知识建立数学模型，从而解决实际问题 的方法

1、插值法 在生产和实验中,常常需要根据一张表格表示的函 数推算该表中没有的函数值解决此类问题的简单途径之 利用插值法。 插值在数学发展史上是一个老问题,它是和Gaus agrange, Newton等在著名数学家连在一起的。它最初 来源于天体计算由若干观测值计算人一时刻星球的 位置。现在,插值法在工程技术和数据处理有许多直接 应用,而且也是数值积分、数值微分的基础

1、插 值 法 在生产和实验中，常常需要根据一张表格表示的函 数推算该表中没有的函数值.解决此类问题的简单途径之 一利用插值法。 插值在数学发展史上是一个老问题，它是和Gauss, Lagrange, Newton等在著名数学家连在一起的。它最初 来源于天体计算——由若干观测值计算人一时刻星球的 位置。现在，插值法在工程技术和数据处理有许多直接 应用，而且也是数值积分、数值微分的基础

11插值概念与基础理论 1.1.1插值问题的提法 对于给定的函数表 X (1) Y=f(x)yoy1|……yn (其中y=∫(x)在|a,b上连续,x,x1,,xn是[a,b上的 n1个互异的点),在某函数类{q(x)}中求一个函数p(x),使 qp(x)=y;,(i=0,1,2,,n) 并用函数p(x)作为函数y=(x)的近似函数,即 y=f(x)≈φ(x),(x∈[a,b])

1.1 插值概念与基础理论 1.1.1 插值问题的提法 对于给定的函数表 x x0 x1 ……. xn Y=f(x) y0 y1 …….. yn (其中 在[a,b]上连续，x0， x1，…， xn 是 [a,b]上的 n+1个互异的点)，在某函数类{(x)}中求一个函数(x) ，使 y f x = ( ) (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n) (2) （1） 并用函数(x) 作为函数 y=f(x) 的近似函数，即 y= f(x)  (x) , ( x∈[a,b] )

这类问题称为插值问题。a,b]称为插值区间,x0,x1, ,xn称为插值节点,(2)称为插值条件,插值条件是 选择近似函数的标准,满足此条件的近似函数p(x)称为 插值函数,f(x)称为被插值函数 函数类{9(x)}有多种取法,常用的有代数多项式 三角函数和有理函数。 最简单的插值函数是代数多项式,相应的插值 问题称为多项式插值

这类问题称为插值问题。 [a,b]称为插值区间， x0 , x1 , ... , xn 称为插值节点，（2）称为插值条件，插值条件是 选择近似函数的标准，满足此条件的近似函数(x) 称为 插值函数， f(x) 称为被插值函数。 函数类{(x)}有多种取法，常用的有代数多项式、 三角函数和有理函数。 最简单的插值函数是代数多项式，相应的插值 问题称为多项式插值。 最简单的插值函数是代数多项式，相应的插值 问题称为多项式插值