上海交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）n维向量与线性方程组

上渐定通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY n维向量与线性方程组 主要内容: (1)向量的线性相关性 (2)向量组的最大无关组与秩 (3)线性方程组解的结构与通解

n维向量与线性方程组 主要内容： （1）向量的线性相关性 （2）向量组的最大无关组与秩 （3）线性方程组解的结构与通解

(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY n维向量的概念 定义 n维行向量(或行阵):a=(a,a2,…an), n维列向量(或列矩阵): 常用的记号是希腊字母 ,B,y, 如果向量的元素在复数域上,全体n维向量记为C 如果向量的元素在实数域上,全体n维向量记为Rn

定义： n维行向量(或行阵)：  = (a a a 1 2 , , , , n ) n维列向量(或列矩阵): 1 2 , n a a a      =   常用的记号是希腊字母    , , ,... 如果向量的元素在复数域上，全体n维向量记为 n C 如果向量的元素在实数域上，全体n维向量记为 n R n 维向量的概念

(上文大率 HANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 向量的运算 向量相等:α=(a,a2…,a),β=(b,b2…,b a 零向量:a=(0,0,0) n维向量的线性运算 双=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn), 加法:α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn) 数乘:k·α=(ka1,ka2…,kan),k∈R 负向量0=(-a,的,…,-an)2104胜质 向量空间:m维向量的全体及加法,数乘 口口口口

 =   ai = bi  = (0, 0, …,0) n维向量的线性运算:  = (a1 , a2 , …, an ),  =(b1 , b2 , …, bn )， 加法： +  = (a1 +b1 , a2 +b2 , …, an+ bn ), 数乘：k •  =(ka1 , ka2 , …, kan ), k R. 向量相等： = (a1, a2, …, an),  =(b1, b2, …, bn) 零向量： 负向量: -=(-a1,-a2,…,-an ) 向量的运算 向量空间：n维向量的全体及加法，数乘 p.104 性质

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 线咝组合、线咝方程组的向量形式 定义对于m维向量组a1,a2,…,a,B,如果存在一组数 k,k,…,,使得B=ka1+k1a2+…+ka, 称B是a1,a2,…a1的线性组合 或B能由C1,Q2,…a1线性表示(表出) 注 1925 )=∑k1/∈K,1≤i≤ (a1a2,…,a):a1a,a线性组合的全体 口注:零向量可以由任意向量线性表出

线性组合、线性方程组的向量形式 定义 1 2 , , , , , 对于n维向量组   l 如果存在一组数 注： 零向量可以由任意向量线性表出 1 2 , , , l k k k 使得 1 1 2 2 , l l     = + + + k k k  是 1 2 , , , 称   l 的线性组合 或 1 2 , , ,  能由   l 线性表示（表出） ( ) 线性组合的全体. 1 2 1 2 , , , : , , , L       l l ( 1 2 ) 1 , , , , 1 l l i i i i L k k K i l     =   =         注：

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 侧61=(1,0,…,0),E2=(0,1,…,0),…,En=(0,…,0,1) 求 161+a,8,+…+lE, n维单位向量 解 011+a2E2+……+anEn a1(1,0,…,0)+a2(0,1,…,0)+…+an(0,0,…,1) (a1,0,…,0)+(0,a2,…,0)+…+(0,0,…,an) 1925 )=B :B可由6,E2,6n线唑表幽

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( ,0, ,0) (0, , ,0) (0,0, , ) ( , , , )= 解: = = n n n n n a a a a a a a a a a a a     + + + + + + + + + =    = = = (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0, ,0,1) 例 1 2 n 1 1 2 2 . n n 求 a a a    + + + n维单位向量 注：  可由    1 2 n , , , 线性表出

(上定关孝 向量的线性表示与线性方程组的关系 11~1 十a1 12~2 +…+a1nxn=b a21r1 +a22x2+:+a2mxmn= b ax,+ax +.+ax=b 11 12 1 21 22 a2n 2 2 1 结论 n 线性方程组有解b能由系数矩阵的列向量线性表出 x11+x22+……+xnOn=b, 或(a1,a2,…,an)X=b AX=

向量的线性表示与线性方程组的关系    + + = + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1       =       =       = mn n n n m m a a a a a a a a a     2 1 2 22 12 2 1 21 11 1  , , , , 2 1       = xn x x X        = bmb b b  2 1 AX = b. 结论： 线性方程组有解b 能由系数矩阵的列向量线性表出 1 1 2 2 , x x x b    + + + = n n 1 2 ( , , , ) , 或   n X b = 即

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 例将B=(1,0,-4)用ax1=(0,1,1), c2=(1,0,1),a3=(1,1,0)T线性表出 解 A=(a12a2,)=1010+0111 110-4)(1010 00 2 →0111|→010- 5 001 2 所以,B535 I-a 212“2

      − = = 1 1 0 4 1 0 1 0 0 1 1 1 1 2 3 ( , , , ) T T T A       − → 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 4       − → 2 5 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 4       − − → 2 5 2 3 2 5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 . 2 5 2 3 2 5 所以， = − 1 − 2 + 3 例 将 = (1,0,-4)T 用 1 =(0,1,1)T , 2 =(1,0,1)T ,3 =(1,1,0)T 线性表出. 解

(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 例下述向量中哪个不能由其余的向量线性表示 2 3 5 3 2

1 2 3 4 5 1 2 3 1 1 3 , 1 , 5 , 3 2 2 1 2 2 3                − −           = = − = = − =           − 例 下述向量中哪个不能由其余的向量线性表示

(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 向量组之间的关系 向量组线性表示的定义: 向量组()1,ax2,…,am能由向量组(I)1,B2,…,,线性表示: 若向量组(Ⅰ)的任意向量量都能由向量组(Ⅱ线性表示。 向量组等价的定义 称向量组()a,a2…,.m与向量组()1,B2…“,B,等价 若向量组1)的任意向量都能由向量组(Ⅱ)线性表示, 同时向量组(I)的任意向量也都能由向量组(I)线性表示。 向量组等价的性质: (Ⅰ)反身性(I)对称性(I)传递性 加推论123 口口口口口

向量组之间的关系 向量组线性表示的定义： 称向量组() 1 ,2 ,..., m 与向量组()    s , ,..., 1 2 等价 若向量组（）的任意向量都能由向量组（）线性表示， 同时向量组（）的任意向量也都能由向量组（）线性表示。 向量组等价的性质： （）反身性（）对称性 （ ）传递性 向量组() 1 2 , ,...,    m 能由向量组() 1 2 , ,...,    s 线性表示: 若向量组（）的任意向量量都能由向量组（）线性表示。 向量组等价的定义： 加推论1,2,3

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 向量的线性表示与向量组之间线性表示的矩阵方法 B=k1a1+k2a2+…+ka1=(a 向量组B,B2,…,B k 能由向量组a1,a2,…,ax,线性表示,即 月=∑qa,j=12,… 矩阵方法 1112 (B,月,)=(a1a2,a 2122 ·u2s

向量的线性表示与向量组之间线性表示的矩阵方法 1 , 1,2, , l j ij i i   a j s = = =  矩阵方法 ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 , ,..., , , , s s s l l l ls a a a a a a a a a           =   1 2 , , , 能由向量组   l 线性表示，即 1 2 , ,..., 向量组    s 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) l l l l k k k k k k            = + + + =  