四川大学：《微积分 Calculus》课程教学资源（例题讲解）不定积分例题

C(us不定积分例题 UNI cC scu edu. cn微积分(经济类,物理类)

Calculus 不定积分例题 cc.scu.edu.cn 微积分（经济类，物理类）

sInx x≥0 例订设∫(x)= r0 x'+c x<o (1)问:g(x)是f(x)的不定积分吗? (2)求f(x)过(0,1点的积分曲线 解()不是! 因为g(x)在点x=0处不连续 202//30

2021/1/30 2      +  +  = 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x C x x C x g x     −  = 0 sin 0 ( ) x x x x 设 f x (2) ( ) (0, 1) . (1) ( ) ( ) 求 过 点的积分曲线 问： 是 的不定积分吗？ f x g x f x [例1] [解] 不是！ 因为g(x)在点 x = 0处不连续 (1)

(2)首先要求∫(x)的积分曲线族 cosx +c xxo 分段积分得G(x)=12+C2x<0 若G(x)是f(x)在R上的原函数 →G(x)x=0连续 →imG(x)=imG(x)=G(0)→C2=1+C1 x r-0 cosx+c x20 G(x)={1 x2+1+Cx<0 202//30

2021/1/30 3 (2) 首先要求 f (x)的积分曲线族      +  +  = 0 2 1 cos 0 ( ) 2 2 1 x C x x C x G x 若G(x)是 f (x)在R上的原函数  G(x)在 x = 0连续 lim ( ) lim ( ) (0) 0 0 G x G x G x x  = = → + → − 2 1  C = 1+ C      + +  +   = 1 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x C x x C x G x 分段积分，得

一当x>Q时,G(x)=-imx 当x0 (x=1 x2+1+Cx<0 202//30

2021/1/30 4 0 cos 1 (0) lim 0 = −  = + → + x x G x 又 0 1 1 2 1 (0) lim 2 0 = + −  = − → − x x G x  G(0) = 0 当x  0时, G(x) = −sin x 于是G(x)在(−, + )上可导,且 G(x) = f (x)      + +  +   =  1 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x C x x C x f x dx 当x  0时, G(x) = x

C0Sx+Cx≥0 即y=G(x)=14+Cx0 y=F(x)={1 x2+1x<0 是∫(x)过(,1点的积分曲线 202//30

2021/1/30 5      + +  +  = = 1 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x C x x C x 即 y G x 是f (x)的积分曲线族 令 x = 0,G(0) = 1,得 C = 0      +   = = 1 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x x x x y F x 是 f (x)过(0, 1)点的积分曲线

12计算d Slnx·coSx 解」原式 sinx+cosx = x+-dx coS式 = tanx-cotx+C 202//30 6

2021/1/30 6   dx x x 2 2 sin cos 1 [例2] 计算 dx x x x x  + = 2 2 2 2 sin cos sin cos 原式 dx x dx x   = + 2 2 sin1 cos1 = tan x − cot x + C [ 解 ]

[例3O|22:(2) dx dx 22 x ta x -a 解 ad(x a) =-arctan -+c x+a'dal(r a) d a -I 2(1-) arcsin -+C x 202//30

2021/1/30 7    + − −2 2 2 2 2 2 [ 3] (1) ; (2) ; (3) x a dx a x dx x a dx 例   + = + [1 ( ) ] ( ) (1) 2 2 2 2 a x a ad x a x a dx c ax a = arctan + 1 [ 解 ]  (1− 2 ) 2 2 ax a dx c ax ax d ax = + − =  ( ) arcsin 1 ( ) 1 2= −  2 2 (2) a x dx

1c1 x-a 2ajx-a x+a d(x-a)--d(x+a) ar-a x+a In/x-a-Inlx+a)+C 2a x-l +c 2a x+a 202//30

2021/1/30 8  − 2 2 (3) x a dx ( )] 1 ( ) 1 [ 2 1 d x a x a d x a a x a + + − − − =   dx a x a x a ) 1 1 ( 2 1 + − − =  C x a x a a x a x a C a + + − = = − − + + ln 2 1 (ln ln ) 2 1

例4 xV1+√x 解!原式=2x 1+√x d(1+x) 1+x =41+√x+C 202//30

2021/1/30 9  x + x dx1 [例4]  + = x d x 1 原式 2 ++ = x d x 1(1 ) 2 = 4 1+ x + C [ 解 ]

例 Sln∠x 4-cOS x 解!原式」 sinx cosx 4-c0s34x d(c052x) =-arcsinl 2/C 202//30 10

2021/1/30 10 dx x x  − 4 4 cos sin 2 [例5] dx x x x  − = 4 4 cos 2sin cos 原式  − = − 2 2 2 4 (cos ) (cos )x d x C x = − ) + 2 cos arcsin( 2 [ 解 ]