西安电子科技大学：《近世代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）有限域

国家重点实验室 内容 近世代数基本知识复习 子环与理想 循环群 ●有限域的乘法结构 ◎有限域的加法结构 有限域的代数结构 多项式的因式分解 ●正规基和对偶基

内容 近世代数基本知识复习 子环与理想 循环群 有限域的乘法结构 有限域的加法结构 有限域的代数结构 多项式的因式分解 正规基和对偶基

国家重点实验室 同余和剩余类 同余 若整数a和b被同一正整数m除时,有相同的余数,则 称a、b关于模m同余,记炸b(modm) >若a1≡b(modm),a2≡b2modm,则 a1土a2≡b±b2(modm),a1·a2≡bh·b2modm) 剩余类 给定正整数m,将全体整数按余数相同进行分类,可获 得m个剩余类:01m-1 a+b=a+ba·b=a·b

同余和剩余类 同余 ➢若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则 称a、b关于模m同余，记为 ➢若 则 剩余类 ➢给定正整数m，将全体整数按余数相同进行分类，可获 得m个剩余类： a  b(modm) 0,1,,m −1 a + b = a + b, a  b = a  b 1 1 2 2 a b m a b m   (mod ), (mod ), 1 2 1 2 1 2 1 2 a a b b m a a b b m       (mod ), (mod )

国家重点实验室 同态与同构 代数系统 满足一定规律或定律的系统称为代数系统。且有: 1.有一群元素构成一个集合; 2.在元素集合中有一个等价关系; 3.在集合中定义了一个或数个运算,通过运算建立起元 素之间的关系; 4.有一组假定。 同态与同构: >设是代数系统(A,)到(B,)的映射,如果它满足条件 f(a1·a2)=a1)*f(a2)a1a2∈A,f(a1),f(a2)∈B 则称是A到B的同态映射,集合A与B同态。如果同 态映射仅是双射,则称为同构映射,集合A与B同构。 若是A到A自身的同构映射,则称为自同构

同态与同构 代数系统 ➢ 满足一定规律或定律的系统称为代数系统。且有： 1. 有一群元素构成一个集合； 2. 在元素集合中有一个等价关系； 3. 在集合中定义了一个或数个运算，通过运算建立起元 素之间的关系； 4. 有一组假定。 同态与同构： ➢ 设f是代数系统(A, ·)到(B, *)的映射，如果它满足条件 f(a1 ·a2 ) =f(a1 ) *f(a2 ) a1 ,a2 ∈A, f(a1 ) ,f(a2 ) ∈B 则称f是A到B的同态映射，集合A与B同态。如果同 态 映射f又是双射，则称为同构映射，集合A与B同构。 若f是A 到A自身的同构映射，则称为自同构

国家重点实验室 群 °设G是一个非空集合,并在G内定义了一种代数运算 “°”,若满足: )封闭性。对任意a,b∈G,恒有aob∈G 2)结合律。对任意abc∈G恒有(ab)c=a(boc) 3)G中存在一恒等元,对任意a∈G,使ae=eoa=a 4)对任意a∈G,存在a的逆元a∈G,使 C=已 °则称G构成一个群。 若加法,恒等元用0表示, 若为乘法,恒等元称为单位元 ρ阿贝尔群( Abelian Group)、可换群、交换群:满足交换 律

群 设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足： ➢ ➢ ➢ ➢ 则称G构成一个群。 ➢ 若加法，恒等元用0表示， ➢ 若为乘法，恒等元称为单位元 阿贝尔群(Abelian Group)、可换群、交换群：满足交换 律 1) 封闭性。对任意 a,bG ，恒有 a  bG 2) 结合律。对任意 a,b,cG ，恒有 (a  b) c = a  (b  c) 3) G中存在一恒等元e,对任意 a G ，使 a  e = e  a = a 4) 对任意 a G a a = a a = e − −   1 1 ，存在a的逆元 a G −1 ，使

国家重点实验室 环 ◇非空集合R中,若定义了两种代数运算加和乘, 且满足: >1)集合R在加法运算下构成阿贝尔群 >2)乘法有封闭性 >3)乘法结合律成立,且加和乘之间有分配律 环=阿贝尔加群+乘法半群 ●相关概念 有单位元环(乘法有单位元) 交换环(乘法满足交换率) 整环(无零因子环)

环 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘， 且满足： ➢1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 ➢2) 乘法有封闭性 ➢3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律 环＝阿贝尔加群＋乘法半群 相关概念 ➢有单位元环（乘法有单位元） ➢交换环（乘法满足交换率） ➢整环（无零因子环）

国家重点实验室 域 °定义:非空集合F,若F中定义了加和乘两种运算,且满 足 >1)F关于加法构成阿贝尔群,加法恒等元记为0 >2)F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群,乘法恒等元记为1 >3)加法和乘法之间满足分配律 °域是一个可换的、有单位元、非零元素有逆元的环,且域 中一定无零因子。 元素个数无限的域称为无限域;元素个数有限的域称为有 限域,用GF(q)或厂表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域

域 定义：非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满 足： ➢ 1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 ➢ 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元 记为1 ➢ 3) 加法和乘法之间满足分配律 域是一个可换的、有单位元、非零元素有逆元的环，且域 中一定无零因子。 元素个数无限的域称为无限域；元素个数有限的域称为有 限域，用GF(q)或Fq表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域

国家重点实验室 子环 ●定义 若环R中的子集S,在环R中的定义的代数运算也构 成环,则称S为R的子环,R为S的扩环 ●判定 非空子集S是R的子环的充要条件是: ·对任何两个元素a,b∈S,恒有ab∈S; 对任何两个元素a,b∈S,恒有ab∈S; 例子 全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍 数全体构成其中的一个子环。如m=3集合{…,-3, 0,3,…}构成一个子环

定义 ➢若环R中的子集S，在环R中的定义的代数运算也构 成环，则称S为R的子环，R为S的扩环 判定 ➢非空子集S是R的子环的充要条件是： • 对任何两个元素a, b∈S ， 恒有a-b∈S； • 对任何两个元素a, b∈S， 恒有ab ∈S； 例子 ➢全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍 数全体构成其中的一个子环。如m=3, 集合{…, -3, 0, 3, …}构成一个子环 子环

国家重点实验室 理想 理想 >非空子集是交换环R的理想的充要条件是: 对任何两个元素a,b∈1,恒有a-b∈l;→Abe加群 对任何两个元素a∈,r∈R,恒有ar=ra∈l;→若饱含了a, 则包含了a的一切倍元 >|构成一个Abe加群,所以可用它作为一个正规子群, 把R中的元素进行分类划分陪集 主理想 >若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合 生成,则称这个理想为主理想。 >在可换环R中,由一个元素a∈R所生成的理想|a)=a +n叫∈R,n∈2称为环R的一个主理想,称元素a为 该主理想的生成元

理想 理想 ➢非空子集I是交换环R的理想的充要条件是： • 对任何两个元素a, b∈I ， 恒有a-b ∈I；→Abel加群 • 对任何两个元素a ∈I, r∈R， 恒有ar=ra ∈I；→若I包含了a， 则包含了a的一切倍元 ➢I构成一个Abel加群，所以可用它作为一个正规子群， 把R中的元素进行分类划分陪集 主理想 ➢若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合 生成，则称这个理想为主理想。 ➢在可换环R中，由一个元素a ∈R所生成的理想I(a)={ra + na|r ∈R, n ∈Z}称为环R的一个主理想，称元素a为 该主理想的生成元

国家重点实验室 剩余类环 ●定义 设R是可换环,/为R的一个理想,于是R模成 个可换环,称它为环R以理想/为模的剩余类环 例 >R=Z,l3={,-3,0,+3,…↓,R以戊划分陪集为 3.0.3 1=…,-2,1,4, 2,5 >集合0.,2}构成一个可换环

剩余类环 定义 ➢设R是可换环，I为R的一个理想，于是R模I构成一 个可换环，称它为环R以理想I为模的剩余类环 例 ➢R=Z，I3={…, -3, 0, +3, …}，R以I划分陪集为 ➢集合 构成一个可换环 0 , 3,0,3, ; = − 1 , 2,1,4, ; = − 2 , 1,2,5, = − 0, 1, 2 

国家重点实验室 多项式 多项式 f(x=fnn+ f-1 xn-1+ . fX+fo 其中∈F问=0,1,…,n,该多项式称为域F上的多项 式 ●多项式次数degf(x) >系数不为零的x的最高次数称为多项式x)的次数 首一多项式 最高次数的系数为1的多项式 既约多项式 >设代x)是次数大于零的多项式,若除常数和常数与本 身的乘积以外,再不能被域Fn上的其他多项式整除, 则称x)为域F上的既约多项式 fx)是否既约与讨论的域有关:f(x)=x2+1在实数域上 既约,但在复数域上fx)=(x+n)(x-

多项式 多项式 f(x)=fnx n+ fn-1x n-1+…+ f1x+f0 其中 i=0,1,…,n，该多项式称为域Fp上的多项 式 多项式次数 degf(x) ➢系数不为零的x的最高次数称为多项式f(x)的次数 首一多项式 ➢最高次数的系数为1的多项式 既约多项式 ➢设f(x)是次数大于零的多项式，若除常数和常数与本 身的乘积以外，再不能被域Fp上的其他多项式整除， 则称f(x)为域Fp上的既约多项式 ➢f(x)是否既约与讨论的域有关：f(x)=x 2+1在实数域上 既约，但在复数域上f(x)=(x+i)(x-i) i Fp f 