《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 定积分及其应用

第五章定积分及其应用 主要内容 二、典型例题

第五章 定积分及其应用 一、主要内容 二、典型例题

主要内容 ●(一)定积分 (二)定积分的几何应用

主要内容 （一）定积分 （二）定积分的几何应用

主要内容(-)定积分 问题1: 问题2 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 存在定理(定积分广义积分 定 的定 性积 牛顿-莱布尼茨公式 积 质分 法分 的

f (x)dx F(b) F(a) b a = −  牛顿-莱布尼茨公式 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 广义积分 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 计 算 法 一、主要内容（一）定积分

1、问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积A) 曲边梯形由连续曲线y=∫(x)(∫(x)≥0) x轴与两条直线x=、x=b所围成 A=lim∑∫()x

1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A） i n i A =  f i x = → lim ( ) 1 0   曲边梯形由连续曲线 y = f ( x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a 、x = b所围成

实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间 间隔T,T2|H的一个连续函数,且v(t)≥0,求 物体在这段时间内所经过的路程S. s=lim∑v(z)Mt1 2→)0 方法:分割、求和、取极限

实例2 （求变速直线运动的路程） i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0   设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时间 间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t)  0， 求 物体在这段时间内所经过的路程 S. 方法:分割、求和、取极限

2、定积分的定义 定义设函数f(x)在a,b上有界,在ab中任意 若干若干个分点 a=x.<x.<x.<…<y.<x=b 把区间a,6分成n个小区间, x。,x11x1,x2l,…[xn=1,xnl, 各小区间的长度依次为△x1=x1-x1n1,(i=1,2,…), 在各小区间上任取一点;(5∈Ax)

2、定积分的定义 设函数 f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意 若干若干个分点 a x x x x x b = 0  1  2  n−1  n = 把区间[a,b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )， 在各小区间上任取 一点 i （ i  xi）， 定义 [ , ],[ , ], [ , ], x0 x1 x1 x2  xn−1 xn

作乘积f(5)Ax;(i=1,2,…)并作和S=∑f(5)x, 记九=max{x1,x2,…,xn},如果不论刈a,b 怎样的分法,也不论在小区间x1,x上点5怎样 的取法,只要当→>0时,和S总趋于确定的极限I, 我们称这个极限Ⅰ为函数∫(x)在区间a,b上的定积分, 记为了f(x)d==lm∑f(5)△

怎样的分法，  = = b a f (x)dx I i i n i  f x = → lim ( ) 1 0   . 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 的取法，只要当 → 0时，和S总趋于确定的极限I ， 在区间[a,b]上的定积分， 记为 记 max{ , , , } 1 2 n  = x x  x ，如果不论对[a,b] 我们称这个极限I 为函数 f (x) 作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 点 i怎样 并作和 i i n i S =  f x = ( ) 1 

3、存在定理 可积的两个充分条件: 定理1当函数f(x)在区间{a,b上连续时, 称f(x)在区间a,b上可积 定理2设函数f(x)在区间4,b上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在区间 a,b]上可积

可积的两个充分条件： 定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则f (x) 在区间 [a,b]上可积. 3、存在定理

4、定积分的性质 性质f(x)±g(x)=f(x)dx±g(x)dx 性质2(x)=kf(x)k为常数) 性质3假设a<c<b Cf(x)ax=f(x)dx+f(x)do

4、定积分的性质   b a [ f ( x) g( x)]dx  = b a f ( x)dx   b a 性质1 g( x)dx  =  b a b a 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数)  b a f (x)dx   = + b c c a f (x)dx f (x)dx 性质3 假设a  c  b

性质41x=a=b-a 性质5如果在区间[a,b上∫(x)≥0, 则∫f(x)≥0(a<b) 推论:(1)如果在区间a,b上f(x)≤g(x), 则f(xtsx(a<b) (2) J,(yoxs' f(x)x (a<b)

则 ( )  0  f x dx b a (a  b) 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x)  0， 推论： 则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) (a  b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x)  g(x)， f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) （2） (a  b) dx b a   1 dx b a 性质4 = = b − a