《微积分》课程教学资源（PPT课件讲稿）期末小结

微积分(期末小结 202l/1/28

2021/1/28 1 微积分 (I)期末小结

函数 1基本初等函数 2初等函数 3非初等函数 2分段函数 2隐函数方程 参数方程表示的函数 2变限定积分 4函数的初等性质 202l/1/28 2

2021/1/28 2 一 .函数 1.基本初等函数 2.初等函数 3.非初等函数 *分段函数 *参数方程表示的函数 *变限定积分 *隐函数方程 4.函数的初等性质

二极限 1极限的g-N,E-8定义 2极限的性质 3极限的有关定理 4求极限的方法 基本公式 ●等价无穷小替换 罗必达法则 泰勒公式 202l/1/28

2021/1/28 3 二.极限 1.极限的 − N , − 定义 2.极限的性质 3.极限的有关定理 4.求极限的方法 • 基本公式 •等价无穷小替换 •罗必达法则 •泰勒公式

三连续函数 1连续的基本概念 2闭区间上连续函数的性质 有界性 ●零点定理 ●介值定理 ●最值定理 致连续性 202l/128

2021/1/28 4 三.连续函数 1.连续的基本概念 2.闭区间上连续函数的性质 •有界性 •零点定理 • 介值定理 •最值定理 •一致连续性

四导数与微分 1定义 设y=f(x),f(x)在x点的导数: f(o)=lim f(x)-f(o x→x X- f(x)在x点可微: Ay=f(xo)dx +o(4r) 微分为=f(x)x 202l/128

2021/1/28 5 四.导数与微分 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim ( ) ( ) 1. : 0 x x f x f x f x y f x f x x x x − − = = → 设 ， 在 点的导数： 定 义 dy f x dx y f x dx x f x x '( ) '( ) ( ) ( ) 0 0 0 = = + 微分为 在 点可微：   

2导数与微分的计算 基本公式 。四则运算法则 复合函数求导法 o隐函数求导法 o反函数求导法 对数微分法 参数方程求导法 202l/128 6

2021/1/28 6 2.导数与微分的计算 基本公式 四则运算法则 复合函数求导法 隐函数求导法 反函数求导法 对数微分法 参数方程求导法

五.导数应用 (-)微分学基本定理 *罗尔定理 *拉格朗日定理 柯西定理 (二)函数性态的研究 ●增减性、极值 ●凸性、拐点 渐近 线 (三)不等式的证明 202l/1/28

2021/1/28 7 五.导数应用 (一)微分学基本定理 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 (二)函数性态的研究 •增减性、极值 •凸性、拐点 •渐近线 (三)不等式的证明

(四)罗必达法则 (五泰勒公式 1皮亚诺型余项的泰勒公式 假设函数f(x)在点x存在1到m阶导数, 则当x→x时,有 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f"(x0)x-x0)2 2 +…+,∫0(xn)(x-xn)”+o(x-x0) 202l/128

2021/1/28 8 (五)泰勒公式 1.皮亚诺型余项的泰勒公式 则 当 时 有 假设函数 在 点 存 在 到 阶导数， , ( ) 1 0 0 x x f x x n → ( )( ) [( ) ] ! 1 ''( )( ) 2! 1 ( ) ( ) '( )( ) 0 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 n n n f x x x o x x n f x f x f x x x f x x x + + − + − = + − + −  (四)罗必达法则

2拉格朗日型余项的泰勒公式 假设函数(x)在点x0∈(a,b)有1到n+1阶导 数,则x∈(a,b),有 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f"'(x)(x-x0)2 ∴ f("(x0)(x-x) 十 f()(x-x0) (n+1)! 其中ξ是介于x0与x之间的某个点。 202l/128

2021/1/28 9 2.拉格朗日型余项的泰勒公式 其 中 是介于 与 之间的某个点。 数，则 有 假设函数 在 点 有 到 阶 导 x x f x x n f x x x n f x f x f x x x f x x x x a b f x x a b n n n n n 0 1 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 0 ( )( ) ( 1)! 1 ( )( ) ! 1 ''( )( ) 2! 1 ( ) ( ) '( )( ) ( , ), ( ) ( , ) 1 1   + + − + + + + − = + − + −    + 

3常用的麦克劳林公式 (xn=0,皮亚诺型余项 1)e=1+x+x2+…+-x"+o(x") 2 n 5 2k-1 2)sinx=x k-1 (-1) 2K +0(x 3!5 (2k-1) 2 2k cosX= +~-…+(_1) 2k 0(x 2!4! (2k) 202l/128

2021/1/28 10 3.常用的麦克劳林公式 ( ) ! 1 2! 1 1) 1 x 2 n n x o x n e = + x + x ++ + ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! 2)sin 2 2 1 1 3 5 k k k o x k x x x x x + − = − + − + − −  − ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 3)cos 1 2 2 4 2 k k k o x k x x x x = − + −+ − + ( 0 ) x0 = ，皮亚诺型余项