中国科学技术大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 数值微分和数值积分

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第二章数值微分和数值积分

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第二章 数值微分和数值积分

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值微分 1.函数(x)以离散点列给出时,而要求我们给出导数值, 2.函数f(x过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中,关于导数的定义如下: f(x)=lim f(x+h)-f(x) lir f(x)-f(x-h) f(x+h)-f(-h) h→>0 h→0 h→0 2h 自然,而又简单的方法就是,取极限的近似值,即差商

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值微分 h f x h f x h h f x f x h h f x h f x f x h h h 2 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 + − − = − − = + − = → → → 1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 2. 函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中，关于导数的定义如下： 自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 向前差商 f(x0)≈ f(o+h-f(ro) h Xoth

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS h f x h f x f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + −  向前差商 x0 x0+h

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由Tayo展开 f(x+h)=f(x0)+hf(x)+f"(),x≤5≤x0+h 因此,有误差 R(x)=f(x0) f(xo+h-f(o h 2"()=)

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由Taylor展开 f x x h h f x + h = f x + hf x + 0   0 + 2 0 0 0 ''( ), 2! ( ) ( ) '( )   因此，有误差 ''( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 f O h h h f x h f x R x f x = − = + − = − 

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 向后差商 f(x0) h 0 h 0

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS h f x f x h f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 − −  向后差商 x0 -h x0

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由Tayo展开 f(x-h)=f(x0)-/(x0)+f"(5),x≤5≤x+h 因此,有误差 R(x)=f(x0) f(o)-f(xo-h) h f"()=O(h

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由Taylor展开 f x x h h f x − h = f x − hf x + 0   0 + 2 0 0 0 ''( ), 2! ( ) ( ) '( )   因此，有误差 ''( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 f O h h h f x f x h R x f x = = − − = − 

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 中心差商 f(x0)≈ f(ro+h)-f(xo-h 2h 0 h 0 Xoth

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS h f x h f x h f x 2 ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − −  中心差商 x0 -h x0 x0+h

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由Tayo展开 f(x+h)=f(x0)+hf(x)+f"(x)+∫"(51)x≤51≤x+h h f(x-h)=f(x)-hf(x0)+,f"(x)-f"(52),x-h≤52Sx 因此,有误差 R()=f(ro) f(xo +h)f(xo-h) 2h h If"()+∫"(2)=f"(2)=O(h2) 6

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由Taylor展开 2 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 3 0 0 0 0 2 0 2 0 ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! h h f x h f x hf x f x f x x h h h f x h f x hf x f x f x h x     + = + + +   + − = − + − −   因此，有误差 '''( ) ( ) 6 [ '''( ) '''( )] 12 2 ( ) ( ) ( ) '( ) 2 2 1 2 2 0 0 0 f O h h f f h h f x h f x h R x f x = + = = + − − = −   

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例 f(x=exp(lx) f’(1.15)R(x) f(11R(x) 0.10 3.1630 000480.053.1590-0.0008 0.09 3.1622-0.00400.043.1588-0.0006 0.08 3.1613-0.00310.033.1583-0.0001 0.07 3.1607 0.00250023.1575-00007 0.06 3.1600 0.00180013.1550-0.0032

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS f(x)=exp(x) h f’(1.15) R(x) h f’(1.1 5) R(x) 0.10 3.1630 -0.0048 0.05 3.1590 -0.0008 0.09 3.1622 -0.0040 0.04 3.1588 -0.0006 0.08 3.1613 -0.0031 0.03 3.1583 -0.0001 0.07 3.1607 -0.0025 0.02 3.1575 -0.0007 0.06 3.1600 -0.0018 0.01 3.1550 -0.0032 例：

+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由误差表达式,h越小,误差越小,但同时舍入误差增大, 所以,有个最佳步长 我们可以用事后误差估计的方法来确定 设Dh),D(h/2)分别为步长为h,b2的差商公式。则 h D(h)-D()<G 时的步长2就是合适的步长 f(x)-D(h=o(h f(x-D(h) 0(h≈2 f(x)-D(h/2)=O(h/2 f(x)-D(h/2)O(h/2) f(x)-D(h)=2f(x)-2D(h/2) f(x)-D(h/2)=D(h)-D(h/2)

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大， 所以，有个最佳步长 我们可以用事后误差估计的方法来确定 设D(h),D(h/2) 分别为步长为h,h/2 的差商公式。则 − )   2 ( ) ( h D h D 时的步长h/2 就是合适的步长 '( ) ( ) ( ) '( ) ( / 2) ( / 2) f x D h O h f x D h O h − = − = '( ) ( ) ( ) 2 '( ) ( / 2) ( / 2) f x D h O h f x D h O h − =  − f x D h f x D h '( ) ( ) 2 '( ) 2 ( / 2) − = − f x D h D h D h '( ) ( / 2) ( ) ( / 2) − = −