《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，习题课）第一章 函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续 习题课 主要内容 二、典型例题

第一章 函数、极限与连续 习题课 一、主要内容 二、典型例题

主要内容 (一)函数的定义 (二)极限的概念 (三)连续的概念

（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念 一、主要内容

基本初等函数 函数函数 的定义 的性质 复合函数 单值与多值 奇偶性 初等函数反函数‖隐函数 单调性 有界性 双曲函数与反函数与直接 周期性 反双曲函数函数之间关系

函 数 的定义 反函数 隐函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性 双曲函数与 反双曲函数

1、函数的定义 定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数 集.如果对于每个数x∈D,变量y按照一定法 则总有确定的数值和窗对应,则称y是x的函数, 记作y=∫(x) 数集D叫做这个函数的定义域,x叫做自变量, y叫做因变量 函数值全体组成的数集 W={y=f(x),∈D}称为函数的值域

1、函数的定义 记 作 ． 则总有确定的数值和它对应，则称 是 的函数， 集．如果对于每个数 ，变量 按照一定法 定义 设 和 是两个变量， 是一个给定的数 y f (x) y x x D y x y D =  叫做因变量． 数集 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量， y D x { ( ), } 称为函数的值域. 函数值全体组成的数集 W = y y = f x x  D

函数的分类 有「有理整函数多项式函数) 理函 代数(有理分函数(分式函数) 数 函 初等函 数 无理函数 函丿数 数 超越函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)

函数的分类 函 数 初 等 函 数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代 数 函 数 超越函数 有 理 函 数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)

2、函数的性质 (1)单值性与多值性 若对于每一个x∈D,仅有一个值y=f(x)与之对 应则称∫(x)为单值函数否则就是多值函数 (x-1)2+y2=1

(1) 单值性与多值性: 若对于每一个x  D,仅有一个值y = f (x)与之对 应,则称 f (x)为单值函数,否则就是多值函数. x y o x y = e x y o ( 1) 1 2 2 x − + y = 2、函数的性质

(2)函数的奇偶性: 设D关于原点对称对于vx∈D,有 f(-x)=f(x)称f(x)为偶函数; f(-x)=-f(x)称f(x)为奇函数; y=x 0 偶函数 奇函数

(2) 函数的奇偶性: 偶函数 奇函数 设D关于原点对称,对于x  D,有 f (−x) = f (x) 称f (x)为偶函数; f (−x) = − f (x) 称f (x)为奇函数; y o x x y o y = x 3 y = x

(3)函数的单调性 设函数f(x)的定义域为D,区间cD,如果对于区间上 任意两点x及x2,当x1f(x2),则称函数x)在区间上是单调递减的; 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 y=x当x≤0时为减函数; 当x≥0时为增函数;

(3) 函数的单调性: 设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 及 ，当 时，恒有： (1) ,则称函数 在区间I上是单调增加的； 或(2) , 则称函数 在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。  1 x 2 x 1 2 x  x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x f x f x f x   f (x) f (x) x y o 2 y = x 当 x  0时为减函数; 当 x  0时为增函数;

(4)函数的有界性: 若XcD,M>0,vx∈X,有f(x)≤M成立, 则称函数f(x)在X上有界否则称无界 在(-∞,0)及(0,+0)上无界; y 在(-∞,-1及[1,+∞)上有界 10

( ) . . , 0, , ( ) , 则称函数 在 上有界 否则称无界 若 有 成立 f x X X  D M  x  X f x  M (4) 函数的有界性: 在(−,0)及(0,+)上无界; 在(−,−1]及[1,+)上有界. x y o x y 1 = − 1 1

(5)函数的周期性: 设函数fx)的定义域为D,如果存在一个不为零的 数,使得对于任一x∈D,有(x±D∈D.且fx+)=f( 恒成立,则称f(×)为周期函数/称为f(x)的周期、(通常 说周期函数的周期是指其最小正周期) T=1 y=x-x

设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常 说周期函数的周期是指其最小正周期）. x  D (x  l) D (5) 函数的周期性: o y x 1 1 T = 1 y = x − [x]