河南理工大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 复数及复变函数

CH1复数及复变函 复数及其代数运算 2复数的表示方法 3复数的乘幕与方根 4、区域 5、复变函数 6、复变函数的极限与连续性 009 Henan Polytechnic University 版权所有河南速大学中河临位商新区世纪大道201号5

1 CH1 复数及复变函数 1、复数及其代数运算 2、复数的表示方法 3、复数的乘幂与方根 4、区域 5、复变函数 6、复变函数的极限与连续性

力功 第一章复数及复变函数 81复数及其代数运算 1.复数的概念 2.代数运算 規3.共轭复数 复变函数与积分变换 27 January 2021

2 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021  1. 复数的概念 §1复数及其代数运算  3. 共轭复数  2. 代数运算

力功 第一章复数及复变函数 1复的概念 定义对任意两实数x、y,称2=x+或z=xy为复数 其中2=-1,谢为虚单位 复数z的实部Re(d)=x;虚部Im(z)=y (real part) (imaginary part 判断复数相等 1=z2分x1=x2,y1=y2,其中z1=x1+i,z2=x2+2 z=0分Re(z)=Im(z)=0 一般任意两个复数不能比较大小 复变函数与积分变换 27 January 2021

3 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 一般任意两个复数不能比较大小. 1. 复数的概念 定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi为复数. 1 , . 其中 i 2 = − i称为虚单位 •复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 0 Re( ) Im( ) 0 , , , 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 =  = = =  = = = + = + z z z z z x x y y 其 中z x i y z x i y • 判断复数相等

力方方 第一章复数及复变函数 2.代数算 四则运算定义 定义x1=x1+1与a2=x2+2的和、差、积和商为: 1±z2=(x1±x2)+i(v1±y2) 122=(x1+i1)(x2+i2)=(x1x2y12)+i(x2y1+x12) /,P2°2+ix2y-xy G1 rr2 tViy (z2≠0 2 复变函数与积分变换 27 January 2021

4 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2 )+i(y1±y2 ) z1 z2=(x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 -y1y2 )+i(x2y1+x1y2 ) ( 0) | | | | 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1  − + + = = z z x y x y i z x x y y z z z 2. 代数运算 •四则运算定义

力功 第一章复数及复变函数 运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律 (与实数相同)即: z+2=2+z1 712=21 (zr+x2)+x3=1+(z2+x3) x1(z2x3)=(x12)x3; x1(z2+x3)=12+x1z3 复变函数与积分变换 27 January 2021

5 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 z1+z2=z2+z1； z1 z2=z2 z1； (z1+z2 )+z3=z1+(z2+z3 )； z1 (z2 z3 )=(z1 z2 )z3； z1 (z2+z3 )=z1 z2+z1 z3 . •运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即：

力方方 第一章复数及复变函数 3共轭运算 定义若z=x+i,称z=xj为z的共轭复数 共轭复数的性质 (conjugate) (1)(x1±a2)=1±2(2)=x Z1Z 12 (4)z+z=2Re(z) 2-z=2iIm(z) 2 2 (3)z=(Re(x))2+(Im(z))2=x2+p2→= ZZ 复变函数与积分变换 27 January 2021

6 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 •共轭复数的性质 1 2 1 2 (1) (z  z ) = z  z 1 2 1 2 (z z ) = z z 2 1 2 1 ( ) z z z z = (2) z = z 2 | | 1 z z z  = 2 2 2 2 (3)zz =（Re（z） ）+（Im（z） ）= x + y 2 Im( ) (4) 2Re( ) z z i z z z z − = + = 3.共轭运算 定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. (conjugate)

力功 第一章复数及复变函数 例1设1=5-5,2=-3+4 求二,(-)及它们的实部,虚部 解: 5-5i7+i 3+4i 复变函数与积分变换 27 January 2021

7 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 ,( ) , . 5 5 , 3 4 , 2 1 2 1 1 2 求 及它们的实部 虚部 设 z z z z z = − i z = − + i 5 7 3 4 5 5 : 2 1 − + = − + − = i i i z z 解 例1

力功 第一章复数及复变函数 §2复数的表示方法 §3复数的乘幂与方根 1.代数形式 0,2.几何形式 m3.三角形式 规 m4.指数形式 复变函数与积分变换 27 January 2021

8 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021  1. 代数形式 §2 复数的表示方法 §3 复数的乘幂与方根  4. 指数形式  3. 三角形式  2. 几何形式

力功 第一章复数及复变函数 1.代数形式(点表示) 易见,z=x+j4一对有序实数x,y) 在平面上取定直角坐标系,则 任意点P(x,y)4一对有序实数x,y) →z=x+订y4>平面上的点P(x,y) 复数z=x+j可用平面上坐标为x,y)的点P表示 此时,x轴一实轴y轴一虚轴 平面一复平面或平面 点的表示: z=x+j复平面上的点P( (x,y) 数与点同义 复变函数与积分变换 27 January 2021

9 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 1. 代数形式（点表示） 易见，z = x + iy 一对有序实数(x, y), ( , ) ( , ) ( , ) z x i y P x y P x y x y 平面上的点 任意点 一对有序实数 在平面上取定直角坐标系，则  = +   此时， 复 数z = x + i y可用平面上坐标为(x，y)的 点P表 示. 平 面—复平面或 平 面 轴—实 轴 轴— 虚 轴 z x y 点的表示： z = x + iy 复平面上的点P(x，y)  数z与点z同义

力功 第一章复数及复变函数 2.几何形式(向量表示) z=x+iy+ P(x, y)<>OP=(x, y) 可用向量OP表示乙=x+i 称向量的长度为复数z=x+y的模或绝对值; 以正实轴为始边,向量OP为终边的角的 弧度数称为复数=x+j的辐角(时) y 模:|zH=OP=r=√x2+y2, p(x,y) 记作 辐角:日=Argz z≠Q时, tan(Argz)=y/x 复变函数与积分变换 27 January 2021

10 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 . ( ) { , } O P z x i y z x i y P x y O P x y  = + = +   = 可用向量 表 示  点 ， 2. 几何形式（向量表示） z z OP r x y : Arg | | | | , 2 2 记 作 辐 角 模 ： = = = = +  o x y (z) P(x,y) z = r x y  称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时) 向量OP z  0时，tan(Argz) = y / x