《场论与复变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 级数（付小宁）

第四章级数 By付小宁

第四章 级 数 By 付小宁

第一节复数项级数 复数列的极限 复 数 列 1.定义设{an}(m=1,2,…)为一复数列其中收 an=an+ib1,又设以=a+为一确定的复数 如果任意给定E>0,相应地都能找到一个数同 于 N(a),使an-aN时成立 极 限 那末a称为复数列(an}当n→∞时的极限存 记作 lima=a.也称复数列{n}收敛于2.在 n→>0

一、复数列的极限 1.定义 如果任意给定  0,相应地都能找到一个正数 N( ), 使 在 n N 时成立,   n −    那末 称为复数列{ }当n → 时的极限,  n 记作 lim = . → n n 也称复数列{ n }收敛于. 设{ } (n = 1,2, )为一复数列,其中 n , n n n  = a + ib 又设 = a + ib为一确定的复数, 第一节 复数项级数 复 数 列 收 敛 等 同 于 极 限 存 在

2复数列收敛的条件 复数列{an}(n=1,2,)收敛于a的充要条件是 limb. =b n 证如果lman=a,那末对于任意给定的E>0 n1-0 就能找到一个正数N,当n>N时, +ibn)-(a+ib)<e

2.复数列收敛的条件 复数列{ }(n = 1,2, )收敛于 的充要条件是 n lima a, limb b . n n n n = = → → lim = , → n n 如果 那末对于任意给定的   0 就能找到一个正数N, 当n  N 时, (a + ib ) − (a + ib)   , n n 证

从而有an-a≤(an-a)+i(bn-b)0 反之,如果 lima=a, limb=b, n→0 那末当n>N时,an-a<分,bn-=b<5

a − a  (a − a) + i(b − b)   , 从而有 n n n lima a. n n = → 所以 limb b. n n = → 同理 . 2 , 2   an − a  bn − b  反之, 如果 lima a, limb b, n n n n = = → → 那末当n  N 时

从而有an-a=(an+ibn)-(a+ib) (am-a)+i(bn-b) ≤an-a+b-b<G 所以 lim a=a 证毕 定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性

从而有 (a ib ) (a ib) n − = n + n − + (a a) i(b b) = n − + n − 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. lim =. → n n 所以 [证毕]  a − a + b − b   , n n

二、级数的概念 1.定义设n}={an+汤bn}(m=1,2,)为一复数列, oo 表达式∑an=a1+a2+…+an+ : 称为复数项无穷级数 ● 部分和其最前面n项的和 Sn=1+a2+…+Cn称为级数的部分和

二、级数的概念 1.定义 { } { } ( 1, 2, ) , n n n 设  = + = a ib n 为一复数列  = + ++ +  = n n n 1 2  1 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 n n s =1 + 2 ++ 称为级数的部分和. 部分和

收敛与发散 如果部分和数列}收敛,那末级数∑α收敛, H-=1 并且极限imsn=s称为级数的和 如果部分和数列sn}不收敛 那末级数∑α发散 说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散 性的基本方法是:利用极限 lim s= n→0

收敛与发散 如果部分和数列{ }收敛, n s , 1 那末级数 收敛  n= n 并且极限lim s s 称为级数的和. n n = → 说明: lim s s. n n = → 利用极限 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 如果部分和数列{ }不收敛, n s . 1 那末级数 发散  n= n

例如级数∑": Sn=1+x++71-2n (z≠1) 由于当z<1时, lim s=lim n→∞1 所以当z<1时级数收敛

, : 0   n= n 例如 级数 z 2 -1 1 n n s = + z + z ++ z 由于当 z  1时, ( 1), 1 1  − − = z z z n z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z = 所以当 z  1时级数收敛

2复数项级数收敛的条件 定理二级数∑an=∑(an+b收敛的充要条件 ∑a和∑b都收敛 证因为Sn=a1+a2+…+an =(a1+a2+…+an)+i(b1+b2+…+bn) R +IT n 5

2.复数项级数收敛的条件 证 因为 n n s =1 + 2 ++ ( ) ( ) 1 2 n b1 b2 bn = a + a ++ a + i + ++ , n n =  + i ( ) 1 1 级 数  收敛的充要条件  =  = = + n n n n n  a ib. 1 1  和 都收敛  =  = n n n an b 定理二

根据‘n}极限存在的充要条件: {on}和{xn}的极限存在复数项级数的审敛问题 于是级数∑a和∑b都收敛 (定理二) 实数项级数的审敛问题 判断级数∑(1+)是否收敛? 因为∑q=∑发散;∑b=∑收敛 所以原级数发散

. 1 1    =  = n n n 于是级数 an 和 b 都收敛 根据{ }极限存在的充要条件: n s { }和{ }的极限存在, n n   复数项级数的审敛问题  实数项级数的审敛问题 (定理二) (1 ) 1 1 级数  是否收敛？  = + n n i n ; 1 1 1 因为  发散  =  = = n n n n a . 1 1 2 1   收敛  =  = = n n n n b 所以原级数发散. 判断