《高等数学》课程教学知识点（PPT讲稿）二次函数

§24二次函数 基础知识自主学习 要点梳理 1.二次函数的三种表示形式 (1)一般式:fx)ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(k,h),则其解 析式为f)=a(x=6)2+h(a≠0) (3)两根式:若二次函数图像与x轴的交点坐标为 x10),(x20),则其解析式为fx=ax-x1)(x-x2a≠0)

§2.4 二次函数 基础知识 自主学习 要点梳理 1．二次函数的三种表示形式 (1)一般式： . (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(k，h)，则其解 析式为 . (3)两根式：若二次函数图像与 x 轴的交点坐标为 (x1,0)，(x2,0)，则其解析式为 . f(x)ax 2＋bx＋c(a≠0) f(x)=a(x－k) 2＋h(a≠0) f(x)=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

2.二次函数的图像和性质 解析式)=ax2+bx+c|fx)=ax2+bx+c (4→>0) (a<0) 图像 0/ 定义域 R R 值域 4ac-b +oo 4ac-b 4a 4a

2.二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax 2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax 2＋bx＋c (a<0) 图像 定义域 R R 值域        4ac－b  2 4a ，＋∞         －∞， 4ac－b 2 4a

在 2a b 在一,-2上是减少的:上是增加的 单调性 在 2a ∞是增加的在 2a 上是减少的 奇偶性b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数 对称性 图像关于直线2a成轴对称图形

单调性 在      －∞，－ b 2a 上是减少的； 在      － b 2a，＋∞ 上是增加的 在      －∞，－ b 2a 上是增加的； 在      － b 2a，＋∞ 上是减少的 奇偶性 b＝0 时为偶函数，b≠0 时为非奇非偶函数 对称性 图像关于直线 x＝－ 成轴对称图形 b 2a

难点正本疑点清源 二次函数、二次方程、二次不等式的区别与联系 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 A=b--4ac A>0 A=0 A<0 y=ax+bx+ c(a0的图像x 方程ax2+bx+cx=x;, x1=x2=X0 无解 =0的解 x--n2 ax2+bx+c0的{xx {xx∈R R 解集 或x<x}且x≠=x ax2+bx+c<0的 Relc<x<x23 解集

[难点正本 疑点清源] 1. 二次函数、二次方程、二次不等式的区别与联系 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ0)的图像 方程 ax 2＋bx＋c ＝0 的解 x＝x1， x＝x2 x1＝x2＝x0 无解 ax 2＋bx＋c>0 的 解集 {x|x>x2 或 x<x1} {x|x∈R 且 x≠x0} R ax 2＋bx＋c<0 的 解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅

2二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布 讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况 般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值 的符号;③对称轴与区间的相对位置 在讨论过程中,注意应用数形结合的思想

2.二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布 讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一 般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值 的符号；③对称轴与区间的相对位置． 在讨论过程中，注意应用数形结合的思想．

基础自测 1函数y=x2+bx+c在|0,+∞)上是递增的,则b的取 值范围是0,+∞) 解析二次函数开口向上,且对称轴为x b 2 ≤0,∴b≥0

基础自测 1.函数 y＝x 2＋bx＋c 在[0，＋∞)上是递增的，则 b 的取 值范围是__________． 解析 二次函数开口向上，且对称轴为 x＝－ b 2 . ∴－ b 2≤0，∴b≥0. [0，＋∞)

2.设全集I为整数集Z,集合A={xx2-3>0,x∈, 则集合A的补集为{0,2,3}. 解析x2-3x>0,即x3 A={x0或x>3,x∈刀

2．设全集 I 为整数集 Z，集合 A＝{x|x 2－3x>0，x∈Z}， 则集合 A 的补集为__________． 解析 x 2－3x>0，即 x3. ∴A＝{x|x3，x∈Z}. ∴∁IA＝{0,1,2,3}． {0,1,2,3}

3.二次函数y=x满足八x+3)=f3-x)(x∈R)且fx) =0有两个实根x、x,则x1+x2=6 解析由3+x)=f(3-x)知函数y=fx)的图像关于直线 1+x2 x=3对称,应有 2-x1+x2=6

3．二次函数 y＝f(x)满足 f(x＋3)＝f(3－x) (x∈R)且 f(x) ＝0 有两个实根 x1、x2，则 x1＋x2=________． 解析 由 f(3＋x)＝f(3－x)知函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝3 对称，应有x1＋x2 2 ＝3⇒x1＋x2＝6. 6

4.已知函数fx)=4x2-mx+5在区间-2,+∞)上是 增函数,则f(1)的范围是 (A) A.f(1)≥25 B.∫1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25 解析对称轴x=9≤-2,∴m≤-16. 八(1)=9-m≥25

4．已知函数 f(x)＝4x 2－mx＋5 在区间[－2，＋∞)上是 增函数，则 f(1)的范围是 ( ) A．f(1)≥25 B．f(1)＝25 C．f(1)≤25 D．f(1)>25 解析 对称轴 x＝ m 8≤－2，∴m≤－16. ∴f(1)＝9－m≥25. A

x2+bx+c(x≤0, 5.设函数fx)= 若f(-4)=f0),f(-2) 2,则关于x的方程fx)=x的解的个数为(c) A.1 B.2 解析由八-4)=f(0),f-2)=-2, +4x+2(x≤0), 得b=4,c=2,故f(x) ∫{x)=x有3个解,选C

5．设函数 f(x)＝     x 2＋bx＋c(x≤0)， 2 (x>0)， 若 f(－4)＝f(0)，f(－2) ＝－2，则关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析 由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2， 得 b＝4，c＝2，故 f(x)＝    x 2＋4x＋2 (x≤0)， 2 (x>0). ∴f(x)＝x 有 3 个解．选 C. C