《数学模型》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 离散模型

数学模型 第八章髙散模型 8,1层次分析模型 8.2循环比赛的名次 8.3社会经济系统的冲量过程 84公平的席位分配 85存在公正的选举规则吗 8.6价格指数

第八章 离散模型 8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次 8.3 社会经济系统的冲量过程 8.4 公平的席位分配 8.5 存在公正的选举规则吗 8.6 价格指数

数学模型 离散模型 ·离散模型:代数方程与差分方程(第6 章)、整数规划(第4章)、图论、对策 论、网络流、 应用较广,是分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及(少许)图论的知识

离散模型 • 离散模型：代数方程与差分方程（第6 章）、整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、… • 应用较广,是分析社会经济系统的有力工具. • 只用到代数、集合及(少许)图论的知识

(数学模型 8.1层次分析模型 t 背·日常工作、生活中的决策问题 景·涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大 的作用,各因素的重要性难以量化 Saty于20世纪70年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process) AHP一种定性与定量相结合的 系统化、层次化的分析方法

8.1 层次分析模型 背 景 • 日常工作、生活中的决策问题. • 涉及经济、社会等方面的因素. • 作比较判断时人的主观选择起相当大 的作用，各因素的重要性难以量化. • Saaty于20世纪70年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) • AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法

(数学模型 层次分析法的基本步骤 例 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色 费用、居住条件等因素选择 目标层 O(选择旅游地) 准则层景色费用居住饮食旅途 方案层 桂林黄山北戴河

目标层 O(选择旅游地) P2 黄山 P1 桂林 P3 北戴河 准则层 方案层 C3 居住 C1 景色 C2 费用 C4 饮食 C5 旅途 一 . 层次分析法的基本步骤 例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择

(数学模型 “选择旅游地”思维过程的归 纳好决策问题分为3个层次:目标层0,准则层C 方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系 用相连的直线表示 通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方 案对每一准则的权重 将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的 权重 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤,给出决策问题的定量结果

“选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示. • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重. • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重. 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果

数学模型 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两对比,对比采用相对尺度 设要比较各准则C1,C2…,Cn对目标O的重要性 C: C=aA=(amxn,a>o, asI 1/2 选择旅游地 7554成对比较阵 A=1/41/711/21/3 1/31/5211 A是正互反阵 1/31/53 要由A确定C1…,Cn对O的权向量

                = 1/ 3 1/ 5 3 1 1 1/ 3 1/ 5 2 1 1 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 2 1 7 5 5 1 1/ 2 4 3 3 A i j i j n n i j j i a A a a a 1 = ( )  ,  0, = 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则C1 ,C2 ,…,Cn对目标O的重要性 i j ij C :C  a A~成对比较阵 A是正互反阵 要由A确定C1 ,…,Cn对O的权向量 选 择 旅 游 地

(数学模型 成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况 a2=1/2(C:C2)一致比较 不一致 a13=4(C1:C3) 8(C2:C) 允许不一致,但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 w w W(=1)→,V2…,Wn =(w,y2,…,wn)~权向量

                      = n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A       1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1           =    2 1 7 1 1/ 2 4 成对比较的不一致情况 A 1/ 2 ( : ) 12 C1 C2 a = 4 ( : ) 13 C1 C3 a = 8 ( : ) 23 C2 C3 a = 一致比较 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 W w w wn ( ) , ,  , =1  1 2 aij wi wj 令 = / w = (w1 ,w2 ,  ,wn ) T ~ 权向量 成对比较阵和权向量 不一致

数学模型 成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足an·a1k=41,,,k=1,2,,n 的正互反阵A称一致阵,如 致阵·A的秩为1,A的唯一非零特征根为n 性质·4的任一列向量是对应于n的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵4, 建议用对应于最大特征根元的特征向量作为权 向量v,即A=v

                = n n n n n w w w w w w w w w w w w A      1 2 1 2 1 1 1 成对比较完全一致的情况 a a a i j k n i j j k i k 满足  = , , , =1,2,  , 的正互反阵A称一致阵，如 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量 一致阵 性质 成对比较阵和权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A, 建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权 向量w ，即 Aw = w

数学模型 成对比较阵和权向量 Sat等人提出1-9度—4r取 比较尺度a值1,2,9及其互反数1,12,19 便于定性到定量的转化: 尺度a 123456789 C:C的重要性相同稍强强明显强绝对强 ar=1,12,…,19~GC的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5,,1~17,…,1p9(p=2,3,4,5),d+0.1~+0.9 (d=-1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵,算出权向量,与实际对比发现,1~9尺度较优

2 4 6 8 比较尺度aij Saaty等人提出1~9尺度——aij取 值1,2,…9及其互反数1,1/2, ,…,1/9 尺度 1 3 5 7 9 aij Ci :Cj的重要性 相同 稍强 强 明显强 绝对强 Ci Cj a ~ : ij = 1,1/2, ,…,1/9 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个. • 用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优. • 便于定性到定量的转化： 成对比较阵和权向量

(数学模型 致性检验对A确定不一致的允许范围 已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证:n阶正互反阵最大特征根,且=时为一致阵 定义一致性指标:CA-naI越大,不一致越严重 为衡量CI的大小,引入随机一致性指标R—随机 模拟得到ai,形成A,计算CⅠ即得RL Saty的结果如下 n123456789 RI000.580.901.121241.321.411.451.49151 定义一致性比率CR=CIR当CR<0.时通过一致性检验 ④O④

一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 −1 − = n n CI  定义一致性指标: CI 越大，不一致越严重 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机 模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI. 定义一致性比率CR = CI/RI 当CR<0.1时通过一致性检验 Saaty的结果如下