《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 数的单调性与 曲线的凹凸性 、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点

1 第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性

、函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)內可导, 若f(x)>0(f(x)0,x∈(a,b),则 x,x2∈[a,b](x0 5∈(x1,x2)c(a,b) 故∫(x1)<f(x2).这说明f(x)在内单调增加

2 一、 函数单调性的判定法 若 定理 1. 设函数 则 在[a, b]上单调增加 ( ( ) 0), f x   (减少) . 证: 不妨设 则 由拉格朗日中值定理得  0 故 这说明 在 I 内单调增加. 在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导

例1确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解:f(x)=6x2-18x+12=6x-1)x-2) 令∫(x)=0,得x=1,x=2 x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞) 0 f(x) 故f(x)的单调增区间为(-∞,112,+∞); f(x)的单调减区间为,2 2x

3 例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 ( , ], − 1 [ , ); 2 +  的单调减区间为 [ , ]. 1 2 1 2 o x y 1 2

说明: 1)单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点 例如,y=3x2,x∈(-∞,+∞) 33x x 0=0 2)如果函数在某驻点两边导数同号 x 则不改变函数的单调性 例如,y=x3,x∈(-∞,+∞) O y1=3y2 y x=0 0

4 y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x

例2证明0<x≤时成立不等式$x22 证:令f(x) sInx 2 x 则f(x)在(0,上连续,在(0,2)上可导,且 f(x)=xcos X-sinx_ COS(x rso L Bg 2 2 X 因此f(x)在(0,上单调减少 tan x 2 f(x)在取得最小值,因此f(x)≥f()=0 sin x 2 从而 xX丌 x∈(0

5 例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( )  = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x  −  = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x  0 从而 因此 且 证明 上单调减少

二、曲线的凹凸与拐点 定义.设函数f(x)在区间I上连续,Vx1,x2∈I, (1)若恒有f(2)()+/(x2) ,则称f(x)的 图形是凸的 连续曲线上的凹凸分界点 (x0,f(x)称为拐点

7 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点 连续曲线上的凹凸分界点 称为拐点

定理2凹凸判定法)设函数f(x)在区间上有二阶导数 (1)在内f"(x)>0,则f(x)在内图形是四的;+/ (2)在1内"(x)0时,)(x27f(2 说明(1)成立 (2)证毕

8 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2 ! ( ) 1 f  + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2 ! ( )  2 f  + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1  2 f  + f  当f (x)  0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x  + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立;  (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x  设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕

例3.判断曲线y=x的凹凸性 解:y′=4x3,y=12x2 当x≠0时,y”>0;x=0时,y”=0 故曲线y=x在(-∞,+∞)上是向上凹的 说明: 1)若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下: 若曲线y=f(x)在点x连续∫"(x)=0或不存在 但fx)在x两侧异号,则点(x,f(x)是曲线 y=f(x)的一个拐点

9 例3. 判断曲线 的凹凸性. 解: 4 , 3 y  = x 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, x y o

例4求曲线y=3x的拐点 解:y=1x3,y x(-∞0)0(0,+0) 不存在 0 因此点(0,0)为曲线y=3x的拐点

10 例4. 求曲线 的拐点. 解: , 3 2 3 1 − y  = x 3 5 9 2 − y  = − x x y  y (−,0) 0 (0,+ ) 不存在 0 + − 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸

例5.求曲线y=3x4-4x3+1的凹凸区间及拐点 解:1)求y 12x3-12x2,y"=36x 2)求拐点可疑点坐标 令y"=0得x1=0,x2=3对 327 3)列表判别 x(-∞,0)0(0 0 23017 凹 故该曲线在(-0及(3,+)上为下在(0,3)上 为上凸,点(0,1)及3,均为拐点

11 36 ( ) 3 2 = x x − 例5. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解:1) 求 y  12 12 , 3 2 y  = x − x 2) 求拐点可疑点坐标 令 y  = 0 得 0 , , 3 2 x1 = x2 = 对应 3) 列表判别 27 11 1 2 y =1, y = (−,0) (0, ) 3 2 ( , ) 3 2 +  y  x y 0 3 2 + 0 0 1 27 11 − + 故该曲线在 (−,0) ( , ) 3 及 2 +  上为下凹, 为上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 27 11 3 2 均为拐点. 在(0, 3 2 )上 凹 凸 凹 3 2 (0,1) ( , ) 27 11 3 2