二次型（二次型及其标准形、二次型的矩阵表示法、二次型经可逆变换后的矩阵）

二次型及其标准形: 定义1:含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式 f(x1x2…xn)=01x+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn +a22x2+2a23x2x3+…+2a2nx2xn tanx 33 +∴+2a 3n3 +…+annx nn n 称为n元二次型,简称为二次型 定义2: V1 =C11X1 t C12 x2 若线性变换 V2=C21X1+ C22x2 t. .+Canin Vn=Cnlxi t Cn2x2t''+Cmx

一、二次型及其标准形： 定义1： 含有n个变量x1 , x2 ,  , xn 的二次齐次多项式 n n n f x x x a x a x x a x x a x x 12 1 2 13 1 3 1 1 2 ( 1 , 2 ,  , ) = 11 1 + 2 + 2 ++ 2 n n a x a x x a x x 23 2 3 2 2 2 + 22 2 + 2 ++ 2 n n a x a x x 3 3 2 + 33 3 ++ 2 + 2 nn n + a x 称为n元二次型，简称为二次型。 定义2： 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n n n n nn n y c x c x c x y c x c x c x y c x c x c x  = + + +   = + + +    = + + +  若线性变换

的矩阵(1a2cn可逆,则称线性变换为可逆 21 22 2n 线性变换 n×n 正交,则称线性变换为正交 变换。 nI Cn2 定义3:只含平方项的二次型,即形如 f(x12x2…xn)=d1x1+d2x2+…+d nn 称为二次型的标准形(或法式) 二、二次型的矩阵表示法: 设

的矩阵                = n n nn n n n n c c c c c c c c c C        1 2 21 22 2 11 12 1 可逆，则称线性变换为可逆 线性变换； 正交，则称线性变换为正交 变换。 定义3： 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x = d x + d x ++ d x 只含平方项的二次型，即形如 称为二次型的标准形（或法式）。 二、二次型的矩阵表示法： 设aij = a ji，则

f(x1, x2,",xn)=a11x1+a12x1x2+a13x1x3+.+aNxin +a21x2X1+a22x2+423x2x3+…+a2nx2xn 2 tanXnxtanXnx2tanxnx3+.tannan auIX1+anx 12 2 ∴ nn 21x1+a22x2+…+a2nXn 1n1x1+an2x2+…+amxn x =(x1,x 2n 2 2 x 72 =XAX二次型的矩阵表示式

n n n f x x x a x a x x a x x a x x 12 1 2 13 1 3 1 1 2 1 2 11 1 ( , ,  , ) = + + ++ n n a x x a x a x x a x x 23 2 3 2 2 2 + 21 2 1 + 22 2 + ++ 2 n1 n 1 n2 n 2 n3 n 3 nn n + a x x + a x x + a x x ++ a x +               n x x x  2 1               n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 ( , , , ) 1 2 n = x x  x               + + + + + + + + + n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 ( , , , ) 1 2 n = x x  x X AX T = 二次型的矩阵表示式

2 二次型的矩阵 X A= 21a22 22n (显然这是实x=2 对称阵) 2 定义4:设二次型f(x1,x2…,xn)=XAX则称对称矩阵A 的秩为二次型∫的秩 二次型经可逆变换后的矩阵: f( x12X2 T )=X AX 作可逆变(CY)A(CY)=(CAC)Y 换X=CY B=CAC→B1=B,yBY为二次型且4与B合同 r(A)=r(B).由上讨论可得:

              = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1               = n x x x X  2 二次型的矩阵 1 （显然这是实 对称阵） 定义4： ( , , , ) 1 2 n f x x  x X AX T 设二次型 = 则称对称矩阵 A 的秩为二次型 f 的秩。 三、二次型经可逆变换后的矩阵： ( , , , ) 1 2 n f x x  x X AX T = X =CY = 换 作可逆变 B C AC T = r(A) = r(B). 由上讨论可得： CY A CY Y C AC Y T T T ( ) ( ) = ( ) B B,Y BY为二次型且A与B合同, T T  =

定理1二次型(x,x2,x)=xA经可逆线性变换 X=CY变成新变元的二次型f=YBY,它的矩 阵B=CAC且r(A)=r(B 四、正交变换化二次型为标准形:A 问题1:标准形的矩阵=? 问题2:将二次型化为标准形实际上是什么问题? 找可逆阵C,使CAC=A为对角阵 问题3:二次型能否化为标准形? 能!因为任意实对称阵都与对角阵正交合同

定理1 ( ) ( ). , ( , , , ) 1 2 B C AC r A r B X CY f Y BY f x x x X AX T T T n = = = = = 阵 且 变成新变元的二次型 它的矩 二次型  经可逆线性变换 四、正交变换化二次型为标准形： 问题1：标准形的矩阵= ？            = dn d  1 将二次型化为标准形实际上是什么问题？ 找可逆阵C,使C AC = 为对角阵. T 问题3：二次型能否化为标准形？ 能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。 问题2：

定理2对实二次型f=XAX,总有正交变换X=QY,使 f=X AX=(QY)A(QY=Y(Q AQY=Y Ar =41y2+12y+…+1y2 41…,2n为f的矩阵A的特征值。 n 将二次型化为标准形的一般步骤: ()写出二次型的矩阵A; ()求出A的所有相异的特征值,2…,m

定理2 对实二次型 f = X T AX,总有正交变换X = QY ,使 f X AX QY A QY Y Q AQ Y Y Y T T T T T = = ( ) ( ) = ( ) =  2 2 2 2 2 1 1 n n =  y +  y ++  y n 为 f 的矩阵 A的特征值。 n     , , , 1 1              = 将二次型化为标准形的一般步骤： (i) 写出二次型的矩阵 A； ( ) , , , ; ii 求出A的所有相异的特征值1 2  m

)对每一个重特征值,求出对应的个线性无关的特 征向量52,…5n(=1,2…,m)由性质知∑h=n ()用施密特正交化方法将每一个重特征值所对应的 个线性无关的特征向量12,…,5m(=1,2,…,m) 先正交化再单位化为n172,…,mm:(i=12,…,m) 它们仍为属于λ的特征向量。 (v)将上面求得的正交单位向量作为列向量,排成一个 n阶价方阵Q,则Q即为所求的正交方阵。此时 QAQ=QAQ=A为对角阵。 (v)作正交变换X=gY,即可将二次型化为标准形 f=X AX=(Qr)A(QY)=Y(Q AOY=YAr

它们仍为属于 的特征向量。 先正交化再单位化为 ； ， 个线性无关的特征向量 ； 用施密特正交化方法将每一个重特征值 所对应的 i i i ir i i i ir i i m r i m iv i i         , , , ( 1,2, , ) , , , ( 1,2, , ) ( ) 1 2 1 2     = = 为对角阵。 阶方阵 ，则 即为所求的正交方阵。此时 将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 = =  − Q AQ Q AQ n Q Q v 1 T ( ) , , , ( 1,2, , ), . ( ) 1 1 2 i m r n iii r m i i i ir i i i i =  = = 征向量 ； 由性质知 对每一个重特征值 ，求出对应的 个线性无关的特       (vi) 作正交变换X = QY , f X AX QY A QY Y Q AQ Y Y Y T T T T T = = ( ) ( ) = ( ) =  即可将二次型化为标准形

用配方法化二次型为标形的方法及惯性定理。 例1:用配方法化二次型为标准形,并求可逆变换矩阵。 f(x1,x2,x3)=x12+2x2+5x32+2x1x2+4x2x3 解:f(x12x2,x3)=x12+2x2+5x32+2x1x2+4x2x3 =(x12+2x1x2)+2x2+5x32+4x2x3 =(x1+x2)2+x22+5x32+4x2x3 =(x1+x2+(x2+2x32+x32 2 2 2 =y1+y2-+y3 y=x1+x2x1=y1-y2+2y3 2=x2+2x31x2=y2-2y3C=0 y3=x3 3=y3 001

例1:用配方法化二次型为标 准形,并求可逆变换矩阵。 1 2 2 3 2 3 2 2 2 解: f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2x + 5x + 2x x + 4x x 2 3 2 3 2 1 2 2 2 =（x1 + 2x x ）+ 2x + 5x + 4x x 2 3 2 3 2 2 2 =（x1 + x2 ） + x + 5x + 4x x 2 3 2 2 3 2 =（x1 + x2 ） +（x + 2x ） + x 2 3 2 2 2 1 = y + y + y      = = + = + 3 3 2 2 3 1 1 2 2 y x y x x y x x      = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 x y x y y x y y y 1 2 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2x + 5x + 2x x + 4x x           − − = 0 0 1 0 1 2 1 1 2 C 用配方法化二次型为标形的方法及惯性定理

例2设二次型(x12x2,x3)=x2+x2+cx32+4x1x3+4x2x3 的秩为2。 1求参数c 2求一可逆变换将该二次型化为标准形 3f(x12x2,x3)=1是什么曲面? 由f(x1,x2,x3)=x12+x2+ax32+4x1x3+4x2x的秩为2 →系数矩阵A的秩为2,→C=8 f(x1,x2,x3)=x12+x2+8x32+4x1x3+4x2x3 2 (x1+2x3)+(x2+2x3) V1+ y2 y1=x1+2x3(x1=y-2y3 10-2 y2=x2+2x3{x2=y2-2y3C=01-2 y3=x3 13=y3 001

的秩为 。 例 设二次型 2 2. ( , , ) 4 1 3 4 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x x x = x + x + c x + x x + x x 3. ( , , ) 1 ? 2. ; 1. ; 1 2 3 是什么曲面 求一可逆变换将该二次型化为标准形 求参数 f x x x = c ( , , ) 4 1 3 4 2 3 2 2 3 2 2 2 由f x1 x2 x3 = x1 + x + cx + x x + x x 的秩为  c = 8 2 2 3 2 1 3 = (x + 2x ) + (x + 2x ) 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x + 8x + 4x x + 4x x 2 2 2 1 = y + y      = = + = + 3 3 2 2 3 1 1 3 2 2 y x y x x y x x      = = − = − 3 3 2 2 3 1 1 3 2 2 x y x y y x y y           − − = 0 0 1 0 1 2 1 0 2 C 系数矩阵A的秩为2

=1 由A-E=0→A的特征值为=0,122=1为椭圆 在正交变换下,可将厂=1化为y2+9y3 柱面

由A− E = 0  A的特征值为1 = 0,2 =1,3 = 9。 在正交变换下，可将f =1化为 9 1 2 3 2 y2 + y = 为椭圆 柱面