《概率论与数理统计》教程PPT教学课件（第四版）第六章 参数估计 §6.1 参数的点估计

第六章参数估计 根据样本观测值来估计总体分布中的未知参数 值的方法称为参数估计 参数估计分为:点估计与区间估计. 561参数的点估计 点估计—用适当的统计量的观测值)作为未 知参数的估计值的方法 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 第六章 参数估计 §6.1 参数的点估计 点估计 —— 用适当的统计量(的观测值)作为未 知参数的估计值的方法. 参数估计分为: 点估计与区间估计. 根据样本观测值来估计总体分布中的未知参数 值的方法称为参数估计

§6.1参数的点估计 可题:设X~N(70,a2),且P(X≥90)=0022,=? 解决:X-70 X-7020 ~N(0,1)→P( ≥-)=0.0228 即1-①(200)=0.0228→=2.0.由此确定σ=10 说明:以上是通过已知条件来求解参数不是参数估计 点估计:通过抽样得到的样本观测值来估计未知参 数的具体值 概率论与数理统计教程(第四版 〔目录[上页[下一页〕匚返回匚结束

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 问题：设 ~ (70, ) 2 X N  ,且P(X  90) = 0.0228,  = ? 解决: ) 0.0228. 70 20 ~ (0,1) ( 70  = −  −    X N P X 即 2.0 20 1− (20 ) = 0.0228 =   查表 Φ .由此确定  =10. 说明:以上是通过已知条件来求解参数,不是参数估计. 点估计: 通过抽样得到的样本观测值来估计未知参 数的具体值. §6.1 参数的点估计

§6.1参数的点估计 广点估计 设总体X的分布中含有未知参数; 从总体X中抽取样本1,X2…,Xn 选择适当的统计量O(X1,Y2…,Xn)作为未知参数的估计量 相应的观测值6(x1,x2,…,x)作为未知参数e的估计值 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 设总体X 的分布中含有未知参数 ; §6.1 参数的点估计  点估计 相应的观测值 ( , , , ) ˆ 1 2 n  x x  x 作为未知参数 的估计值. 从总体X 中抽取样本X X Xn , , , 1 2  ; 选择适当的统计量 ( , , , ) ˆ  X1 X2  Xn 作为未知参数的估计量;

86,1参數的点估计 1.矩估计法 设总体X的分布中含有未知参数,O2…,On,假定 总体的1,2…,m阶原点矩都存在, vk(X)=E(X)=vk(B,a2…,n),k=1,2 从总体A抽取样本X,X2…Xn用样本各阶原点矩 2(X)=∑X,k=1,2,…,m作为总体的各阶原 点矩v(X)的估计量 即令二者相等 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 1.矩估计法 §6.1 参数的点估计 设总体 X 的分布中含有未知参数 1 ,2 ,  , m , 假定 总体 X 的 1 ,2 ,  ,m 阶原点矩都存在, ( ) ( ) ( , , , ) , 1, 2 , , . X E X k 1 2 m k m k  k = =     =  从总体 X 中抽取样本 X1 , X2 ,  , Xn ,用样本各阶原点矩 , 1, 2 , , . 作为总体 X 的各阶原 1 ˆ ( ) 1 X k m n X n i k k =  i =  =  点矩 (X)的估计量.  k 即令二者相等:

§6.1参数的点估计 k(X) ∑X,k=1,2,…,m 解此方程组得参数的估计量表达式: 14-2y Xn) n 2=62(x12X2…,Xn) =日(X12X 2…,Xn) 作为未知参数a,2…,On的估计量称为矩估计量 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 §6.1 参数的点估计 , 1, 2 , , . 1 ( ) 1 X k m n X n i k k =  i =  =  解此方程组,得参数的估计量表达式： ( , , , ). ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 m m n n n X X X X X X X X X           = = = 作为未知参数  , , , m 的估计量,称为矩估计量. 1 2 

86.1参数的点估计 代入已知样本观测值x1,x2,…,xn,则 1=1(x1,x2…xn)2 255 分别是未知参数,a2…On的估计值称为矩估计值 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 §6.1 参数的点估计 ( , , , ). ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 m m n n n x x x x x x x x x           = = = 分别是未知参数 的估计值,称为矩估计值.    m , , , 1 2  代入已知样本观测值 x1 , x2 ,  , xn , 则

§6.1参数的点估计 [例1设总体X在区间0,6上服从均匀分布,其中 >0是未知参数如果取得样本观测值为x,x2 on 5 求θ的矩估计值. 解:因为总体X的概率密度 f(x;)=1°0 <x<6 0,其它 其中只有一个未知参数θ,所以只需考虑总体X的一 阶原点矩 (X)=E(X=xdx 0 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 设总体 X 在区间 [0 , ] 上服从均匀分布，其中   0 是未知参数，如果取得样本观测值为 , , , , 1 2 n x x  x 求  的矩估计值. 解: 因为总体 X 的概率密度        = 0 , . , 0 ; 1 ( ; ) 其它    x f x 其中只有一个未知参数  , 所以只需考虑总体 X 的一 阶原点矩 . 2 ( ) ( ) 0 1  = = =     d x x X E X [例1] §6.1 参数的点估计

§6.1参数的点估计 用样本一阶原点矩W1=∑X作为v(X)的估计量, 有 61 ∑X =1 由此解得θ的矩估计量 2 X.=2X 而θ的矩估计值就是 n ∑ 2x 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 用样本一阶原点矩  作为 的估计量， = = n i Xi n V 1 1 1 ( ) 1 X 有 . 1 2 1 = = n i Xi n  由此解得  的矩估计量 2 . 2 ˆ 1 X X n n i =  i = =  而  的矩估计值就是 2 . 2 ˆ 1 x x n n i =  i = =  §6.1 参数的点估计

§6.1参数的点估计 [例2]设总体x服从正态分布N(,o2),其中及2 都是未知参数,如果取得样本观测值为x,x2,…xn, 求/及的矩估计值 解:因为总体X的分布有两个未知参数,所以应考虑 二阶原点矩, v1(X)=E(X)= v2(X)=E(X2)=D(X)+[E(X)2=a2+2 X 于是,按矩估计法得方程组 0+H n 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 都是未知参数，如果取得样本观测值为 , , , , 1 2 n x x  x 设总体 X 服从正态分布 ( , ) , 2 N   其中  及 2  求  及 的矩估计值. 2  解: 所以应考虑 一、二阶原点矩， 因为总体 X 的分布有两个未知参数， ( ) ( ) , 1 X = E X =  ( ) ( ) ( ) [ ( )] . 2 2 2 2  2 X = E X = D X + E X = +  §6.1 参数的点估计 [例2] 于是，按矩估计法得方程组        + = =   = = . 1 , 1 1 2 2 2 1 n i i n i i X n X n   

§6.1参数的点估计 于是解得μ及σ的矩估计量为 X=X G2=∑2-X=∑(X1-X 1 而及σ的矩估计值就是 A=∑ a2=1(x-x)2=2 i=1 概率论与数理统计教程(第四版 目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 于是解得  的矩估计量为 2 及         = − = − = =    = = = ( ) . 1 1 ˆ , 1 ˆ 2 1 2 1 2 2 1 X X n X X n X X n n i i n i i n i i   而  及 的矩估计值就是 2  §6.1 参数的点估计        = − = = =   = = . ~ ( ) 1 ˆ , 1 ˆ 2 2 1 2 1    x x n x x n n i i n i i