运城学院应用数学系：多连通区域上复边界元及其应用（刘俊俏）

中国力学大会2017暨庆祝中国力学学会成立60周年大会 多连通区域上复边界元及其应 用 刘俊俏 运城学院应用数学系 2021年1月26日

中国力学大会2017暨庆祝中国力学学会成立60周年大会 多连通区域上复边界元及其应 用 刘俊俏 运城学院应用数学系 2021年1月26日

主要内容 1、引言 2、柯西型积分 3、复数边界元方法 4、多连通区域复数边界元方法 2021-1-26 2/24

2021-1-26 2/24 主要内容 II. IV. I. III

1、引言 复变函数的实部和虚部都是二元实函数,解析 函数是复变函数研究的最主要的一类函数,用复 变函数方法研究工程中的一些计算问题是一个非 常重要的研究课题。早期一些数学力学者们,用 复变函数方法解答了平面弹性力学的一些问题, 利用解析函数边值问题通过解答奇异积分方程解 决了很多断裂力学裂纹问题。 边界元方法采用边界上的积分值求结点未知 量的值,进一步可以将域内点的值用边界结点值 表示和计算。 复变函数在曲线上的积分与解析函数在域内的 函数值关系密切,尤其是多场耦合时,可以考虑 复变函数的实部和虚部的边界积分方法。 2021-1-26 3/24

2021-1-26 3/24 复变函数的实部和虚部都是二元实函数，解析 函数是复变函数研究的最主要的一类函数，用复 变函数方法研究工程中的一些计算问题是一个非 常重要的研究课题。早期一些数学力学者们，用 复变函数方法解答了平面弹性力学的一些问题， 利用解析函数边值问题通过解答奇异积分方程解 决了很多断裂力学裂纹问题。 边界元方法采用边界上的积分值求结点未知 量的值，进一步可以将域内点的值用边界结点值 表示和计算。 复变函数在曲线上的积分与解析函数在域内的 函数值关系密切，尤其是多场耦合时，可以考虑 复变函数的实部和虚部的边界积分方法

2柯西型积分 解析函数是复变函数的一个主要研究内容,解析 函数的实部和虚部都是调和函数,满足拉普拉斯方 程,很多数学物理方程中都会涉及到拉普拉斯算子, 因此考虑用解析函数边值问题,构造解析函数,利 用柯西积分公式、柯西型积分方法研究边界积分和 内部各点未知函数值的关系的近似数值方法,就构 成了复数边界元方法。 2021-1-26 4/24

2021-1-26 4/24 2、柯西型积分 解析函数是复变函数的一个主要研究内容，解析 函数的实部和虚部都是调和函数，满足拉普拉斯方 程，很多数学物理方程中都会涉及到拉普拉斯算子， 因此考虑用解析函数边值问题，构造解析函数，利 用柯西积分公式、柯西型积分方法研究边界积分和 内部各点未知函数值的关系的近似数值方法，就构 成了复数边界元方法

2柯西型积分 柯西积分定理 在单连通区域D内,函数f(z)是解析的,其中C为D内任一条周线,则有 f(z)dz=0 这个公式可以推广到多连通区域上。 考虑n+1条周线C,C,…,Cn其中的C1,C2,,Cn中每一条都在 其余各条的外部,而它们又全都在C。的内部.设D是由复周线 C=C+C+C2+…+C所围成的有界n+1连通区域,且函数f(2)在D内解 析,在D=D+C上连续,则有: 2021-1-26 5/24

2021-1-26 5/24 2、柯西型积分 柯西积分定理 这个公式可以推广到多连通区域上

2柯西型积分 f(2)d+(f()d++f(d=0 或写成: (z)dz+…+f Z 柯西积分公式 设区域D的边界周线(或复周线)C,函数f(z)在D内解析,在D=D+C上 连续,则有: 1f(x) 0)-2ai t(z∈D) z-20 2021-1-26 6/24

2021-1-26 6/24 柯西积分公式 2、柯西型积分

2柯西型积分 (1)f(z)在复平面单连通区域D内解析,C为D内的任一简单闭曲线,则有 1fx),.Jf(2),x在C内部 azi z-z 0,z2在C外部 (2)推广到无界域:如果函数f(z)在简单闭曲线C的外部区域D内及C上解析, 并且limf(x)=A,则有: 1f( A Z o E 2Ti cz-zo -f(xa)+A,z0∈D 2021-1-26 724

2021-1-26 7/24 2、柯西型积分

2柯西型积分 (3)高阶导数公式 n!r I(z dz,z0∈D,n=1,2, 2TiJcz (用解析函数的边界值表示其各阶导数内部值得积分公式.) 2021-1-26 8/24

2021-1-26 8/24 2、柯西型积分

2柯西型积分 柯西型积分 f(2)是定义在I上的连续函数, 则F(2)=以定义了一个分区全纯函数 这里的被积函数f(z)在区域内的表达式未知 ()一般不同于f(z) 2021-1-26 9/24

2021-1-26 9/24 柯西型积分 这里的被积函数 f (z) 在区域内的表达式未知 F(z) 一般不同于 f (z) 2、柯西型积分

f(z)=l(x,y)+iv(x,y)解析,则 l(x,y),y(x,y)都是调和函数,满足拉普拉斯方程 解析函数的导数仍然是解析函数 f(z=u(x,y)+iv,(r, y) v, (x, y)-iu,(x,y) 2021-1-26 10/24

2021-1-26 10/24 f (z)  u(x, y)  iv(x, y) 解析，则 u(x, y),v(x, y) 都是调和函数，满足拉普拉斯方程 解析函数的导数仍然是解析函数 ( , ) ( , ) '( ) ( , ) ( , ) v x y iu x y f z u x y iv x y y y x x    