方向导数与梯度（方向导数的定义、梯度的概念）

*第七节方向导数与梯度 1.方向导数的定义 2.梯度的概念 3.小结

*第七节 方向导数与梯度 1. 方向导数的定义 2. 梯度的概念 3. 小结 1/7

二、方向导数的定义y z=f(x,y)在P(x0,y) / P(xy) 沿向的方向导数 ∫(P)-f(B0) Po(o,yo) m L P0P→ P PP P∈l \ Lim (xo+t cos a, yo+t B)-f(o, yo) 0 易知,∫(P)=沿i方向的方向导数 =沿-i向的方向导数的相屢数

二、方向导数的定义 沿 方向的方向导数 在 l z f (x, y) P (x , y ) = 0 0 0 O x y ( , ) 0 0 0 P x y l  l e   • P(x,y) • | | ( ) ( ) lim 0 0 0 0 PP f P f P l f P l P P df P − =    → t f x t y t f x y t PP t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 | | 0 + + − = → + =   ( ) P0 f x 易知，  沿i方向的方向导数  = 沿 i方向的方向导数的相反数 。  = − 2/7

方向导数的物理意义:z z=f(r,y) 函数zf(x)在 M 点P处沿方向的变 化率; 方向导数的几何意义: 曲面z=f(xy) 在点M沿方向l : 半切线的斜率。 △x

x z y 0 l t  y  x t f P P0 z = f (x,y) x  y Q ——函数z=f (x,y)在 M 点P0处沿方向l 的变 化率； . 方向导数的物理意义： N 方向导数的几何意义： ——曲面z=f (x,y) 在点M处沿方向l 半切线的斜率。 3/7

定理1如果zf(P)在P0可微,那末在P沿任意方 向l的方向导数都存在,且有 a f cos a+ coS B(+cos n) al ax O az (E,E(cos a, cos B) of af ox a1 Ox a af dj (=(,c,s).(cos a, cos B, cos r) ay az 其中a、B(、y)为方向l的方向角

定理 1 如果 z=f (P)在 P0可微，那末在 P0沿任意方 向 l 的方向导数都存在，且有 cos cos  ( cos  ) z f y f x f l f   +   +   =   , )(cos,cos  ) y f x f     =（ l e y f x f  •     =（ , ) ( , , ) • (cos,cos  ,cos  ))       = z f y f x f （ 其中 、(、 )为方向 l 的方向角． 4/7

梯度的概念 对f(P)=f(x,y)(f(x,y,z),称 gradf(P)=gradf(, y)=(af af (gradf(x, y, srof of af ay 为f(P)的梯度。 由方向导数公式知 af dl gradf(P).eFl gradf(P)lcslgradf(P), en) 当cos( gradf(P),,)=时,有最大值

二、梯度的概念 对 f (P) = f (x, y)( f (x, y,z))，称 ( ) ( , ) ( , ) y f x f gradf P gradf x y     = = ( ( , , ) ( , , )) z f y f x f gradf x y z       = 为 f (P)的梯度。 由方向导数公式知 l f   l gradf P e  = ( ) | ( )| cos( ( ), ) l gradf P gradf P e  =  l f   当cos( ( ), ) = 1时, 有最大值.  l gradf P e  5/7

定理2函数在某点的梯度是这样一个向量,它 的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它 的模为方向导数的最大值

函数在某点的梯度是这样一个向量，它 的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它 的模为方向导数的最大值。 定理2 6/7

三、小结 1、方向导数的概念 (注意方向导数与一般所说偏导数的区别) 2、梯度的概念 (注意梯度是一个向量) 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长 最快的方向 77

1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 三、小结 . ( , ) 最快的方向 梯度的方向就是函数 f x y 在这点增长 7/7