北京师范大学：《大学文科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一部分 初等微积分 第一章 集合与函数

大学文科高等数学 教师:薛留堂 邮箱:vuelta@blued.cn 办公室:后主楼11

教师: 薛留堂 邮箱: xuelt@bnu.edu.cn 办公室: 后主楼1131 1

关于本课程 教材:《大学文科高等数学》第2版,姚孟臣编著, 高等教育出版社。 主要内容:教材的上篇,即基础篇。 「第一部分:初等微积分 初等函数、极限、导数与微分、积分 第二部分:线性代数简介 矩阵、行列式简介、线性方程组的消元解法 第三部分:概率统计初步 随机事件的概率、一元正态分布、数理统计基础

关于本课程 教材：《大学文科高等数学》第2版，姚孟臣编著， 高等教育出版社。 主要内容： 教材的上篇，即基础篇。 第一部分： 初等微积分 初等函数、极限、导数与微分、积分 第二部分： 线性代数简介 矩阵、行列式简介、线性方程组的消元解法 第三部分： 概率统计初步 随机事件的概率、一元正态分布、数理统计基础 2

引言 对于现在和未来的社会科学工作者来说,数学既是 种强有力的研究工具,也是一种不可或缺的思维方式。 >数学在现代文化中扮演着中心角色。 当代文化发展的重要特征之一就是数学化: 数学的方法、思想与精神渗透到社会科学的各个领域。 一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真 正完善的地步 马克思 要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉嶽学 恩格斯

引 言 对于现在和未来的社会科学工作者来说，数学既是 一种强有力的研究工具，也是一种不可或缺的思维方式。 ➢ 数学在现代文化中扮演着中心角色。 当代文化发展的重要特征之一就是数学化： 数学的方法、思想与精神渗透到社会科学的各个领域。 一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真 正完善的地步. ——马克思 要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学. ——恩格斯 4

语言学与数学 从19世纪中叶起,许多数学家和语言学家运用数学方法来研究语言学问题 ·20世纪中叶以来,由于电子计算机的发展,数学渗透到形态学、句法学、 词汇学、语音学、文字学、语义学等语言学的各个分支,进而形成了 “数理语言学”这一新兴学科 数理语言学:使用概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、图论、 信息论方法、数学模型方法、模糊数学方法等数学理论和方法来 研究语言现象,并加以定量化和形式化的描述 统计语言学与信息处理语言学

语言学与数学 •从19世纪中叶起，许多数学家和语言学家运用数学方法来研究语言学问题。 •20世纪中叶以来，由于电子计算机的发展，数学渗透到形态学、句法学、 词汇学、语音学、文字学、语义学等语言学的各个分支，进而形成了 “数理语言学”这一新兴学科。 数理语言学：使用概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、图论、 信息论方法、数学模型方法、模糊数学方法等数学理论和方法来 研究语言现象，并加以定量化和形式化的描述。 统计语言学与信息处理语言学. 5

数学也是一种十分重要的思维方式和文化精神。 数学追求一种完全确定的、完全可靠的知识 数学对象必须有明确无误的概念,数学推理必须由明确无误的命题开始, 并服从确定无疑的推理准则,借以达到正确的结论。 贯穿其中的是一种无与伦比的理性精神 与其他学科相比,数学最突出的特点是它使用了逻辑的方法,即公理方法。 这也为人类文化的其他部门的建立和发展提供了典范

➢ 数学也是一种十分重要的思维方式和文化精神。 •数学追求一种完全确定的、完全可靠的知识。 •数学对象必须有明确无误的概念，数学推理必须由明确无误的命题开始， 并服从确定无疑的推理准则，借以达到正确的结论。 •贯穿其中的是一种无与伦比的理性精神。 与其他学科相比，数学最突出的特点是它使用了逻辑的方法，即公理方法。 这也为人类文化的其他部门的建立和发展提供了典范。 6

第部分初等微积分 初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题. 高等数学一研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学

初等数学— 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学— 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 第一部分 初等微积分 7

第一章集合与函数 集合初步 定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合 组成集合的事物称为元素 例:(1)学校里在校生的全体为一集合; (2)方程x2-5x+4=0的根的全体为一集合; (3)所有正整数为一集合; (4)直线y=x上的所有点为一集合 有限集:集合中元素只有有限个反之称为无限集 元素a属于集合A,记作a∈A 元素a不属于集合A记作a∈A或a∈A

一、 集合初步 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 元素a不属于集合A,记作 a A a   . 或 A . 元素a A 属于集合 ,记作 a A  . 第一章 集合与函数 例: (1) 学校里在校生的全体为一集合; 2 (2) 5 4 0 方程x x − + = 的根的全体为一集合; (3) 所有正整数为一集合; (4) . 直线y x = 上的所有点为一集合 有限集: 集合中元素只有有限个,反之称为无限集. 8

集合的两种表示法 (1)列举法:按某种方式列出集合中的全体元素 例:有限集合A={0,2.4.6,8 自然数集N={012…n 正整数集N=2={2,…,n (2描述法:一般用A={a所具有的性质} 例:上例中A={2n1n≤4n∈N} 整数集Z={x|x∈N或-xeN 有理数集Q=1p∈Zq∈N,p与q互质

集合的两种表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A =0,2,4,6,8 自然数集 N 0,1,2, , , = n  (2) 描述法： A a =  a 所具有的性质  例: Z = x xN 或 x  + − N 有理数集 q p    Q =    p , q , p q +   Z N 与 互质 整数集 上例中 A n n n N =   2 | 4, .  一般用 正整数集 N Z n 1,2, , ,  + + = = 9

单元集合只含有一个元素的集合记作{a} 空集不含有任何元素的集合.记作⑧ 全集由所研究对象的全体构成的集合.通常记作s 注意:空集⑦与单元集合{0}不同 可列集:若集合中的元素可以与自然数集建立 对应的关系,则称之为可列集。 这是一种特殊的无限集合。 例:整数集Z.偶数整数集A={q|a=2nn∈Z 称有限个与可列个统称为至多可列个(或至多可数个)

单元集合: 只含有一个元素的集合. 记作a. 空集: 不含有任何元素的集合. 记作. 全集: 由所研究对象的全体构成的集合. 通常记作. 注意: 0 . 空集与单元集合 不同 10 可列集：若集合中的元素可以与自然数集建立一 一对应的关系，则称之为可列集。 这是一种特殊的无限集合。 例: . 整数集Z 偶数整数集A a a n n Z = =   | 2 , .  称有限个与可列个统称为至多可列个（或至多可数个）

集合之间的关系及运算 定义2.设有集合A,B,若x∈A必有x∈B,则称 A是B的子集合(简称子集或称A包含于B,或B包含A 记作AcB或B→A 若AcB且BcA,则称A与B相等,记作A=B 显然有:(①)ACA;A∈9;cA (2)AcB且BcC AcC(包含关系具有传递性) 例设A={2,35}试写出集合A的所有子集 11

11 A是 B 的子集合 (简称子集), 或称 A包含于 B,或 B包含A 集合之间的关系及运算 定义2 . 则称 记作 设有集合 A,B, 若 x A 必有 x B, A B B A   . 或 若 A B  且 则称 A 与 B 相等, 记作 A = B . B A  , 显然有: A  ;  (包含关系具有传递性) 例1. 2,3,5 , 设A A =  试写出集合 的所有子集