上海交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）二次型 quadratic form

上渐定通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 、二次型及其标准形的概念 定义:含n个变量的x1,x2,…,Xn二次齐次函数 19~299 =a1+2an12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1Cn +a2x2+2a23x2x3+…+2a2nx2xn +…+ ar称为二次型 当a1是复数时,称为复二次型; 当a1是实数时,称为实二次型 例如 f(x1,x2,x3)=2x2+4x2+5x3-4x1x3 f(1, x2, x3)=x1-x2+x,*3+x2x3 口口口都为二次型;

一、二次型及其标准形的概念 ( 1 2 ) 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 , , , 2 2 2 + 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x = + + + + + + + + + 称为二次型. 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型 定义：含n个变量的 x x x 1 2 , , , n 二次齐次函数 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x

(上潇文大字 二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 ∫ 192 n =a1x1+212x1x2+2013x1x3+…+2a1nx1xn +l,r2 +2a +∴+2a 2n"2-n nn n Exa=i, 2axx =a;xix, +aix? 于是 f=auxi +anX,x2+ n n F a21x2x1ta22x2t'.+a2nx2xn 十a,xX1+anxx+:+anx n n nn n =∑aix;x

1．用和号表示 对二次型 a a , 取 ji = ij 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + + . , 1 a xi x j n i j =  ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 + ann xn 二次型的表示方法 ( 1 2 ) 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 22 2 23 2 3 2 2 , , , 2 2 2 + 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x = + + + + + + + + + 2 , a x x a x x a x x ij i j ij i j ji j i = +

(上定关孝 2.用矩阵表示 f =x1(1x1+a12X,+…+a1x,)+ 11 1 x2(a21x1+a2x2+…+a2nn)+…+ x(anx, +an2x2+.+anxn) 1x1+a12x2+……+a1nx a21x1+a22X2+…+a2 11 x19X2,…9Xn n1x1+an2X2+…+amXn n n x ax 1,~2 n nI n2 n 记为A称为二次型的矩阵

2．用矩阵表示 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n f x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x = + + + + + + + + + + + +       + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x      1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 1 2 ( , , , ) ( )             = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x          2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 , , , T = x Ax 记为A,称为二次型的矩阵， A为对称矩阵 记为x

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样,二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵A叫做二次型∫的矩阵; ∫叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵4的秩叫做二次型∫的秩

二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩

(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 、化二次型为标准形 定义只含有平方项的二次型 ∫=kny2+k2y2+…+kn 称为二次型的标准形(或法式) 对于二次型, (x,x…,x)=∑anxx=x2Ax何为可逆 线性变换? 我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换,(菲退化 的线性变换,非奇异的线性变换) 将其化为标准形

二、化二次型为标准形 我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，(非退化 的线性变换，非奇异的线性变换） 将其化为标准形． 只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y + k y 称为二次型的标准形（或法式）． 定义 T 1 2 = x Ax , 1 ( , , , ) n n ij i j i j f x x x a x x = =  对于二次型， 何为可逆 线性变换？

(上定关孝 定义 JLAO TONG UNIVERSITY 设 y1+c12y2+…+C1nyn 2=C21y1+c22y2+…+c2nyn 记C=(c) n1y1+cny2+…+Cmy mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 若C可逆,称上述变换为可逆线性变换 1(非退化的线性变换,非奇异的线性变换), 进一步,若C是正交的,称上述变换为正交线性变换, 几何角度:正交变换的特性在于保持线段的长度不变, 即,在不同的坐标系下几何图形不变 x,y是n维列向 线性变换常用矩阵记号:x=C 里 将其代入∫=x74x,有 化为关于y o Ax=(Cy A(Cy)=y(CTAc)y 的二次型

   = + + = + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 , , 设 C (c ), 记 = ij f x Ax T = 将其代入 f = x T Ax,有 y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = 化为关于 y 的二次型 定义 若C可逆，称上述变换为可逆线性变换 (非退化的线性变换，非奇异的线性变换） ， 进一步，若C 是正交的，称上述变换为正交线性变换， 几何角度: 正交变换的特性在于保持线段的长度不变, 即，在不同的坐标系下几何图形不变。 线性变换常用矩阵记号： x Cy = x, y 是n维列向 量

(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 说明 1.二次型经可逆变换x=C后,其秩不变,但f 的矩阵由A变为B=CAC; B与A的这种关系称为合同关系 定义对于矩阵A、B,若满足B=C'AC,称矩阵 A、B合同 性质 1.反身性, 2.对称性 3.传递性

B与A的这种关系称为合同关系 说明 ; 1 , , A B C AC . x Cy f T = = 的矩阵由 变为 二次型经可逆变换 后 其秩不变 但 定义 对于矩阵A、B，若满足 ，称矩阵 A、B 合同 T B C AC = 性质： 1. 反身性， 2. 对称性 3. 传递性

(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 要使二次型经可逆变换x=Cy化为标准型, 就是要使 yC ACy=kyi +k2y2+.+knyn k2 15y2 也就是要使C′AC成为对角矩阵 常用的方法 1正交代换法(用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持几何形状不变) 2配方法

2 2 2 2 2 1 1 n n T T y C ACy = k y + k y + k y ( , , , ) , 2 1 2 1 1 2             = y y y k k k y y y n n n    也就是要使C AC成为对角矩阵. T 要使二次型经可逆变换 化为标准型， 就是要使 x Cy = 常用的方法： 1 正交代换法(用正交变换化二次型为标准形， 其特点是保持几何形状不变)． 2 配方法

(上定关孝 正交代换法 由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP=A,即PAP=△.把此结论应用于二次 型,有 定理2任给二次型∫=∑a1x,x/(n=a)总有 正交变换x=Py,使∫化为标准形 ∫=4y2+2y2+…+λny2, 其中λ,,…,是∫的矩阵A=(qn)的特征值

型 有 使 即 把此结论应用于二次 由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 , , . , , 1 =  =  − P AP P AP A P T ( ) 正交变换 使 化为标准形 定理 任给二次型 总有 x Py f f a x x aij a ji n i j ij i j , 2 , , 1 = =  = = , 2 2 2 2 2 1 1 n n f =  y +  y +  y , , , ( ) . 其中 1 2   n是 f 的矩阵A = aij 的特征值 1 正交代换法