高等教育出版社：《高等数学》课程教学资源（PPT讲稿）定积分的概念及性质

第五章 定积分 不定积分 积分学 定积分

第五章 定积分 积分学 不定积分 定积分

第一节 第五章 定积分的欐念及性质 定积分问题举例 定积分的定义 定积分的近似计算 四、定积分的性质 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一节 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的近似计算 定积分的概念及性质 第五章 四、 定积分的性质

定积分问题举例 h 矩形面积=ah 梯形面积=(a+b) a 1.曲边梯形的面积 h 设曲边梯形是由连续曲线 y=(x) y=f(x)(f(x)≥0) 及x轴,以及两直线x=a,x=b A 所围成,求其面积A o a 6x 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y  f (x) ( f (x)  0) 及 x轴，以及两直线 x  a, x  b 所围成 , 求其面积 A . A  ? y  f (x) 矩形面积 a h  a h a h 梯形面积 ( ) b 2 a b h   y O a b x

解决步骤: 1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n-1个分点 <x<x<…<xn_1<xn=b 用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形; 2)常代变.在第个窄曲边梯形上任取5∈[x1,x; 作以[x;-1,x为底,f(2;) 为高的小矩形,并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△4、得04X1x1bX A41≈f(5)Ax;(Ax=x1-x1-1,i=1,2,…,n) 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 1x i x i1 a x b x y O 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b  0  1  2  n1  n  [ , ] i i 1 i x x    用直线 i x  x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以[ , ] i 1 i x x  为底 , ( ) i f  为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 , Ai 得 ( ) ( )  i  i  i  i  i  i1 A f  x x x x , i 1,2,,n )  i

3)近似和 A=∑M4≈∑/(51)△x 4)取极限.令=max{Ax;},则曲边梯形面积 1≤i△A =im∑f(2)△x o a x x i bx 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 3) 近似和.     n i A Ai 1     n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 max{ }, 1 i i n  x    则曲边梯形面积      n i A Ai 1 0 lim       n i i i f x 1 0 lim ( )  1x i x i1 a x b x y O  i

2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)∈C[T1,72],且 v(t)≥0,求在运动时间内物体所经过的路程s 解决步骤: 1)大化小、在[,2中任意插入n-1个分点将它分成 n个小段[t1,t1](=1,2,…n),在每个小段上物体经 过的路程为△s;(i=1,2,…n 2)常代变任取5∈[ta1,l,以v(5;代替变速,得 △Sv(5)AM(i=1,2,…,n) 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, ( ) [ , ], C T1 T2 v  v t  且 v(t)  0, 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 大化小. [ , ], i i 1 i t t 任取   将它分成 [ , ]( 1, 2, , ), 1 t t i n i i   在每个小段上物体经 2) 常代变. 以 ( )代替变速 , i v  得 i i i  s  v( )t [ , ] 1 , 在 T1 T2 中任意插入 n  个分点 s (i 1, 2, , n)  i   (i 1, 2,,n) 已知速度 n 个小段 过的路程为

3)近似和 s≈∑v()△t 4)取极限 s=lim∑v(5)△t2(=max△t1) 1→>0 1≤in 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 大化小,常代变,近似和,取极限 所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 3) 近似和. i n i i s  v t 1 ( ) 4) 取极限 . i n i i s  v t  1 0 lim ( )  ( max ) 1 i i n  t    上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限

定积分定义(P5) 设函数f(x)定义在[a,b]上,若对[a,b的任一种分法 a=x00时∑f(51)△x 1(5)Ax 此时称f(x)在[a,b]上可积 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 O a b x 二、定积分定义 (P225 ) 设函数 f (x)定义在[a,b]上, 若对[a, b]的任一种分法 , 0 1 2 a x x x x b     n  ,  i  i  i1 令 x x x 任取 [ , ] , i  i i1  x x  i 只要 max{ } 0时 1      i i n  x i n i i  f x 1 ( ) 总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间 [a, b]上的定积分, 1 x i x i1 x  b a f (x)dx 即   b a f (x)dx i n i i  f x  1 0 lim ( )  此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作

积分上限N[a,b]称为积分区间 f(x)dx=im∑f(5)Ax 积分下限被 被积 积函数 积表达式 分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分 变量用什么字母表示无关,即 f(x)dx=f(odt=f(u)du 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束   b a f (x)dx i n i i  f x   1 0 lim ( )  积分上限 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 和 [a, b] 称为积分区间 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即  b a f (x)dx   b a f (t)d t   b a f (u)d u

定积分的几何意义 f(x)>0,「f(x)dx=A曲边梯形面积 f(x)<0.,Jf(x)dx=-A曲边梯形面积的负值 y A A5 b f(x dx=a-A,+ A3-A4 +as 各部分面积的代数和 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义: f x f x x A b a    ( ) 0, ( )d 曲边梯形面积    b a f (x) 0, f (x)dx 曲边梯形面积的负值 a b y x A1 A2 A3 A4 A5 1 2 3 4 5 f (x)d x A A A A A b a       各部分面积的代数和  A O