东南大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三部分 代数结构 第九章 代数系统

第三部分代数结构 豪 口主要内容 ●代数系统-二元运算及其性质、代数系统和子代 数 ●半群与群--半群、独异点、群 ●格与布尔代数--格、布尔代数

1 第三部分 代数结构 ❑主要内容 ⚫ 代数系统----二元运算及其性质、代数系统和子代 数 ⚫ 半群与群----半群、独异点、群 ⚫ 格与布尔代数----格、布尔代数

第九章代数系统 豪 口主要内容 口二元运算及其性质 元和二元运算定义及其实例 ●二元运算的性质 口代数系统 ●代数系统定义及其实例 ●子代数 ●积代数 口代数系统的同态与同构 2

2 第九章 代数系统 ❑主要内容 ❑二元运算及其性质 ⚫ 一元和二元运算定义及其实例 ⚫ 二元运算的性质 ❑代数系统 ⚫ 代数系统定义及其实例 ⚫ 子代数 ⚫ 积代数 ❑代数系统的同态与同构

第九章:代数系统 豪 第一节:二元运算及其性质

3 第九章: 代数系统 第一节：二元运算及其性质

09.1二元运算及其性质 豪 本部分用代数方法来研究数学结构故又叫代 数结构它将用抽象的方法来研究集合上的关系 和运算。代数的概念和方法已经渗透到计算机 科学的许多分支中它对程序理论、数据结构、 编码理论的研究和逻辑电路的设计已具有理论 和实践的指导意义。 代数,也称代数结构或代数系统,是指定义 有若干运算的集合

4 9.1 二元运算及其性质 本部分用代数方法来研究数学结构,故又叫代 数结构,它将用抽象的方法来研究集合上的关系 和运算。代数的概念和方法已经渗透到计算机 科学的许多分支中,它对程序理论、数据结构、 编码理论的研究和逻辑电路的设计已具有理论 和实践的指导意义。 代数，也称代数结构或代数系统，是指定义 有若干运算的集合

91二元运算及其性质 豪 代数常由3部分组成: 1.一个集合,叫做代数的翥体。 2定义在载体上的运算 3载体的特异元素,叫做代数常数。 因此,代数通常用载体,运算和常数组成的n 重组表示 5

5 9.1 二元运算及其性质 代数常由3部分组成： 1.一个集合，叫做代数的载体。 2.定义在载体上的运算。 3.载体的特异元素，叫做代数常数。 因此，代数通常用载体，运算和常数组成的n 重组表示

09.1二元运算及其性质 豪 口二元运算设S是个集合SxS到S的一个函数 (映射)f:SxS→S称为S上的一个二元代数 运算 注:映射有存在性和唯一性的要求运算当然要 此要求。 ①存在性:Vxy∈S,f()要有结果, 并且此结果∈S ②唯一性:∨Xy∈s,f()只能有一个 结果∈S

6 9.1 二元运算及其性质 ❑二元运算:设S是个集合,S×S到S的一个函数 (映射)f: S×S→S称为S上的一个二元代数 运算 注：映射有存在性和唯一性的要求,运算当然要 此要求。 ①存在性: x,y∈S，f()要有结果， 并且此结果∈S ②唯一性: x,y∈S，f()只能有一个 结果∈S

09.1二元运算及其性质 豪 口例 令自然数集合上的加法和乘法 令整数集合? 令任意集合S的幂集上的并、交运算 命题集合上的合取、析取运算 口通常用*,·,十,x来表示二元运算,称为算符 例:f是A上的二元运算,即f是AXA→A的映射。 xy∈A,f()=z∈A用算符米表示 即X*y=z

7 9.1 二元运算及其性质 ❑例 ❖自然数集合上的加法和乘法 ❖整数集合？ ❖任意集合S的幂集上的并、交运算 ❖命题集合上的合取、析取运算 ❑通常用*， · ，+，×来表示二元运算，称为算符 例: f是A上的二元运算，即f是A×A→A的映射。 x,y∈A，f()=z∈A,用算符*表示, 即x*y=z

09.1二元运算及其性质 豪 口例:f是R上的二元运算: xry∈R,f()=x,用算符*表示,即 Xy-=X 计算:3*4,(-5)*02 8

8 9.1 二元运算及其性质 ❑例：f是R上的二元运算:  x,yR ， f()=x, 用算符 * 表 示 , 即 x*y=x 计算：3*4，(-5)*0.2

09.1二元运算及其性质 豪 口一元运算:设A是个集合,函数f:A→A称为A 上的一个一元代数运算 例 令整数集合、有理数集合上的相反数 令非零有理数x的倒数1/X ◆集合的补运算 ◆逻辑公式的补运算

9 9.1 二元运算及其性质 ❑一元运算：设A是个集合, 函数f: A→A称为A 上的一个一元代数运算 ❑例： ❖整数集合、有理数集合上的相反数 ❖非零有理数x的倒数1/x ❖集合的补运算 ❖逻辑公式的补运算

09.1二元运算及其性质 豪 例:在上定义运算:米,+,Nex,N少 x*y=xry的最大公约数,xty=xy的最小公倍数 求:6*8,6+8,12*15,12+15 例:在R上求平方根运算(一元运算) 不是一个代数运算 9不存在平方根,存在性不满足 9有两个平方根,3,-3,唯一性不满足 10

10 9.1 二元运算及其性质 例：在I+上定义运算：* ，+。x,y∈I+ x*y=x,y的最大公约数，x+y=x,y的最小公倍数 求：6*8，6+8，12*15，12+15 例：在R上求平方根运算（一元运算） 不是一个代数运算 -9不存在平方根，存在性不满足 9有两个平方根，3，-3，唯一性不满足