《高等数学》课程PPT教学课件（习题课）第八章 向量代数与空间解析几何

习题倮 第八章 向量代数与 空间解析几何 内容小结 实例分析

目录 上页 下页 返回 结束 习题课 一 、内容小结 二、实例分析 向量代数与 空间解析几何 第八章

内容小结 向量代數 1、向量的概念 定义既有大小又有方向的量称为向量 自由向量、向量相等、 向量的模、单位向量、零向量、 向量的夹角、负向量、平行向量、向径

目录 上页 下页 返回 结束 1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、向量相等、 负向量、 向量的模、单位向量、零向量、 平行向量、 一 、内容小结 向量代数 向量的夹角、 向径

2、向量的线性运算 a+b=c (1)加法:a+b=c (2)减法:a-b=d a a-b=d (3)向量与数的乘法: 设是一个数,向量a与九的乘积a规定为 (1)九>0,A与同向,i=元|a (2)九=0,Mn=0 (3)孔<0,M与a反向,|Mx||l

目录 上页 下页 返回 结束 (1) 加法： a b c    + = 2、向量的线性运算 a b d    a − =  b  (2) 减法： a b c    + = a b d    − = (3) 向量与数的乘法： 设是一个数，向量a 与 的乘积 a   规定为 (1)   0, a   与a 同向，| a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与a 反向， | a | | | | a |    =  

3、向量的表示法 向量的分解式:a=a1+a1j+a,k 在三个坐标轴上的分向量:ai,1j,a2k 向量的坐标表示式:a=(a1,a1,a2) 向量的坐标:ax,my,2 其中aa1,na2分别为向量在x,y,z轴上的投影

目录 上页 下页 返回 结束 向量的分解式： ( , , ) x y z a a a a = , , , . 其中ax, ay az 分别为向量在 x y z 轴上的投影 a ax i ay j az k     = + + 在三个坐标轴上的分向量： ax i ay j az k    , , 向量的坐标表示式： 向量的坐标： ax ay az , , 3、向量的表示法

向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 b=(6 b. b) X 2 +b=(a2+b,a1+b 9 tb y (a+b )i+(a,+b J)j+(2+b,)k b=(a-b b) =(a-bi+(a-b,j+(a, -b,k d=(a1, x 2 ,a) =(ai+a,i+(a, k

目录 上页 下页 返回 结束 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 ( , , ) x y z a a a a = ( , , x y z b b b b = ） ( , , ) x x y y z z a b a b a b a b + = + + + ( , , ) x x y y z z a b a b a b a b − = − − − ( , , ) x y z     a a a a = ax bx i ay by j az bz k    = ( + ) + ( + ) + ( + ) ax bx i ay by j az bz k    = ( − ) + ( − ) + ( − ) ax i ay j az k    = ( ) + ( ) + ( )

向量模长的坐标表示式|a|√a2+ay2+an2 向量方向余弦的坐标表示式 COSC= .+a.+ cos B 2 +a.+ coS r +a2+a2(cosa+ cos B+cosy=1) 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点 它们距离为MM2=(2-x)+(2-)+(2-z)

目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 | | a = ax + ay + az  向量模长的坐标表示式 2 2 2 cos x y z x a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z y a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z z a a a a + +  = 向量方向余弦的坐标表示式 ( cos cos cos 1 ) 2 2 2  +  +  = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 它们距离为 M M = x − x + y − y + z − z 设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点

4、数量积(点积、内积 d·b=l‖b|cos6其中6为d与b的夹角 数量积的坐标表达式 b= b tab.+a b x x 两向量夹角余弦的坐标表示式 abtab tab cos a.2+an,2+a.2、b2+b2+b alb s ab+ab+a,b,=0

目录 上页 下页 返回 结束 4、数量积 a b | a || b | cos      = 其中 为a  与b  的夹角 (点积、内积) a b = axbx + ayby + azbz    数量积的坐标表达式 a b   ⊥ axbx + ayby + azbz = 0 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式

5、向量积(叉积、外积 c|=l‖b|sinb其中为与b的夹角 c的方向既垂直于l,又垂直于b,指向符合右手系 向量积的坐标表达式 axb=(a,b-a, v )i+(a, b, -a, b,)j k d/b令今 下页返

目录 上页 下页 返回 结束 5、向量积 | c | | a || b |sin    = 其中 为a  与b  的夹角 c 的方向既垂直于a ，又垂直于b  ，指向符合右手系. (叉积、外积) a b a b k a b a b i a b a b j x y y x y z z y z x x z    ( ) ( ) ( ) + − = − + − 向量积的坐标表达式 a b    x y z x y z i j k a a a b b b = a b   // z z y y x x b a b a b a = =

6、混合积 labc]=(axb).c=bx by b

目录 上页 下页 返回 结束 [abc]    a b c    = (  ) x y z x y z x y z c c c b b b a a a = 6、混合积

利用向量运算解决下列问题 (1)判定两个向量平行 =2b a×b=0 (2)判定两个向量垂直 a·b=0 (3)判定ABC三点共线 ABx BC=0 (4判定四点共面或 (AB×AC)·AD=0 三个向量共面 S=花×b (5)平行四边形面积 角形面积 S=a×b/2 平行六面体的体积 =(a×b)·e 四面体的体积 V=(a×b)·c|/6

目录 上页 下页 返回 结束 利用向量运算解决下列问题 (1)判定两个向量平行 a  b = 0   a b   =  0    a b = (2)判定两个向量垂直 (3)判定A,B,C三点共线 → → → AB BC = 0 (4)判定四点共面或 三个向量共面 (  ) = 0 → → → AB AC AD (5)平行四边形面积 三角形面积 平行六面体的体积 四面体的体积 S | a b |   =  S | a b | / 2   =  V |(a b) c | / 6    =   V |(a b) c |    =  