《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）知识点例题讲解（行列式、矩阵的概念及运算、可逆矩阵的概念、逆矩阵的性质、线性相关性的概念、方阵的特征值与特征向量）

行列式

1.用消元法解二元线性方程组 +a12 12 1a2x1+a2x2=b2.(2) (1)×a2:a1p2x1+a12x2=b1a2 (2)xa12:a2421x1+a12a2x2=h2a12, 两式相减消去x2,得 1 1

1．用消元法解二元线性方程组    + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 x2，得 (1) (2) ; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2

类似地,消去x;,得 b, 当a1a2-a2n21≠0时,原方程组有唯一解 b 22 12 b b 21 122-12 aal 1221 由方程组的四个系数确定

1 22 12 2 2 11 21 1 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 , . b a a b b a a b x x a a a a a a a a − − = = − − 类似地，消去x1，得 , 11 22 12 21 2 11 2 1 21 （a a − a a ）x = a b − b a 当 a11a22 − a12a21  0时， 原方程组有唯一解 由方程组的四个系数确定

若记a12-a2421=mta12\=D 2122 b1a2-a12b2 D 22 a1b2-b1a21= an b D 21 则当D≠0时该方程组的解为 D D 克莱姆法则 D D

若记 1 12 1 22 12 2 2 22 1 , a b a a b D a b b − = = 11 11 2 1 21 2 21 1 2 , a a b b a D b a b − = = 11 12 11 22 12 21 21 22 , a a a a a a D a a − = = 则当 D  0 时该方程组的解为 1 2 1 2 , . D D x x D D = = 克莱姆法则

行列式的定义 1.二阶行列式 1112 1221 2122 对角线法则:主对角线元素之积减去副对角线元素之积 主对角线 12-a12a21 副对角线

行列式的定义 1. 二阶行列式 11 12 21 22 a a a a 11 22 12 21 = a a − a a 对角线法则：主对角线元素之积减去副对角线元素之积 11 12 21 22 a a a a = 11 22 a a 12 21 − a a 主对角线 副对角线

例根据定义计算行列式的值 对角线 法则 6×(-3)-2×(-5)=-8 cos0 -sin 0 =cOS 8-GSin 0) SIn COS 6

例 根据定义计算行列式的值 =  − −  − 6 ( 3) 2 ( 5) 6 2 − − 5 3 cos sin sin cos     − 2 2 = − − cos ( sin )   = − 8 = 1 对角线 法则

在三元一次线形方程组求解时有类似结果 即有方程组 +L122 b 21x1+a2x2+a23x3=b2 +a2x,+a2x2=b2 11u1213 当D ≠0时,有唯一解 32 D D D D D

在三元一次线形方程组求解时有类似结果 即有方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + =   + + =  + + =  当 时，有唯一解 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a =  1 2 3 1 2 3 , , D D D x x x D D D = = =

其中 bbb bbb 222 bbb

其中 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 , b a a D b a a b a a = 11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 , a b a D a b a a b a = 11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 . a a b D a a b a a b =

类似的n元一次线性方程组有克莱姆法则 ta 12~2 …+ In"n 21X1+a …+a 29 ax,++ta x=b 在系数行列式D≠0时有唯一解: D D

类似的n元一次线性方程组有克莱姆法则 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , ( ) . n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =  + + + =    + + + =  在系数行列式 D  0 时有唯一解： , 1,2, , i i D x i n D = =

n阶行列式的定义 n 2 =a141+a12A2+…+anA 按第一行展开

n 阶行列式的定义 21 22 11 2 2 1 1 1 2 n n n nn n a a a a a a a a a 11 12 1 A A 11 12 1 n n = + + + a a a A 1 1 1 n j j j a A = = 按第一行展开