上海中医药大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 定积分及其应用

第五章 定积分及其应用 定积分的概念 二 定积分的简单性质 定积分的计算 四 定积分的应用 五 广义积分和Γ函数

第五章 定积分及其应用

背景来源——面积的计算 我们可以用大大小小的矩形 !矩形的面积定义为两直角边长度的乘积将图形不断填充,但闪烁部分永 远不可能恰好为矩形,这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 典型图形”(必要时可旋转) “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

背景来源——面积的计算 ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 我们可以用大大小小的矩形 将图形不断填充，但闪烁部分永 远不可能恰好为矩形，这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 “典型图形”（必要时可旋转） “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

517定积分的念 5.1.1两个实际问题 矩形面积=ah 梯形面积=(a+b) 1.曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线y y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0) 及x轴,以及两直线x=a,x=b 所围成,求其面积A X

1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y  f (x) ( f (x)  0) 及 x轴，以及两直线 x  a, x  b 所围成 , 求其面积 A . A  ? y  f (x) 矩形面积 a h  a h a h 梯形面积 ( ) b 2 a b h   5.1.1 定积分的概念

解决步骤 1)分割.在区间[a,b中任意插入n-1个分点 a=x<X<X<…<x_1< 用直线x=x1将曲边梯形分成n个小曲边梯形; 2)近似.在第个窄曲边梯形上任取ξ;∈[x2-1,x 作以[x1,x为底,f(5)y 为高的小矩形,并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△A1,得0axx1xbX △4≈f(51)A7(x1=x1-x1,=1,2…,n) 机动目录上页下页返回结束

1x i x i1 a x b x y o 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b  0  1  2  n1  n  [ , ] i i 1 i x x    用直线 i x  x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以[ , ] i 1 i x x  为底 , ( ) i f  为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 , Ai 得 ( ) ( )  i  i  i  i  i  i1 A f  x x x x , i 1,2,,n )  i 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)求和。 A=∑M41≈∑f(51) 4)取极限.令=max{x;},则曲边梯形面积 1≤i<n A=lim∑△4 1im∑f(21)Ax o a x x bx 机动目录上页下页返回结束

    n i A Ai 1     n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 max{ }, 1 i i n  x    则曲边梯形面积      n i A Ai 1 0 lim       n i i i f x 1 0 lim ( )  机动 目录 上页 下页 返回 结束 a b x y o 1x i x i1 x  i

1、分割将[a,b分割为n个小区间 2、取介点在每个小区间上任取一点5 3、局部以直代曲每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(代替 4、作和:S△=()A(2)x2+…+八()Ax+…+f(n)Ax ∑f(5)Ax(△x=x-x1-) y=f(x) /95) a=xo x, x2 x=b

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi i ( ) i f  3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(ξi)代替 y  f (x) 0 a  x 1 x 2 x i1 x i x n1 x x b n  4、作和：S∆= 1 1 f ( )x 2 2  f ( )x   f ( i)xi  n n  f ( )x ( ) ( ) 1 1       i  i  i n i i i f  x x x x y x

1、分割将[a,b分割为n个小区间 2、取介点在每个小区间上任取一点5 3、局部以直代曲每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(5)代替 4、作和:S△=f(5)Ax(5)Ax2+…+/(E)Ax+…+/()x ∑f(5)Ax(△x=x-x1-) y=f(x) S=lm∑/()Ax=f(xk 5、取极限S=lim∑f(5)x(△|max△x})

1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi 3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(ξi)代替 y  f (x) 4、作和：S∆= 1 1 f ( )x 2 2  f ( )x   f ( i)xi  n n  f ( )x ( ) ( ) 1 1       i  i  i n i i i f  x x x x         b a n i S lim f ( i) xi f (x)dx 1 || || 0  5、取极限 lim ( ) (|| || max{ }) 1 || || 0 i n i i i S   f x   x     a b y x

2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度v=(t)∈C[T1,72],且 v(t)≥0,求在运动时间内物体所经过的路程s 解决步骤: 1)分割.在[,2]中任意插入n-1个分点将它分成 n个小段[t121](=1,2,…,m),在每个小段上物体经 过的路程为△s;(i=1,2,…,m) 2)近似任取ξ;∈[t1,1],以v(5)代替变速,得 △S≈v(51)△7(i=1,2.…,n 机动目录上页下页返回结束

设某物体作直线运动, ( ) [ , ], C T1 T2 v  v t  且 v(t)  0, 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割. [ , ], i i 1 i t t 任取   将它分成 [ , ]( 1, 2, , ), 1 t t i n i i   在每个小段上物体经 2) 近似. 以 ( )代替变速 , i v  得 i i i  s  v( )t [ , ] 1 , 在 T1 T2 中任意插入 n  个分点 s (i 1, 2, , n)  i   (i 1, 2,,n) 已知速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段 过的路程为

3)求和。 s≈∑v(;)△ 4)取极限 s=lim∑v(5)△t(=max△t) 1→0=1 l≤i≤H 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 分割,近似,求和,取极限 所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限 机动目录上页下页返回结束

i n i i s  v t 1 ( ) 4) 取极限 . i n i i s  v t  1 0 lim ( )  ( max ) 1 i i n  t    上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束

512定积分概念 设函数f(x)定义在[a,b]上,若对[a,b的任一种分法 a=x00时∑f(;)△x 1<ⅸ<n 总趋于确定的极限,则称此极限Ⅰ为函数f(x)在区间 a,b]上的定积分,记作f(x)dx Odx1x1x,b文 f(x)dx=lim∑f()x 此时称f(x)在[a,b]上可积 机动目录上页下页返回结束

o a b x 设函数 f (x)定义在[a,b]上, 若对[a, b]的任一种分法 , 0 1 2 a x x x x b     n  ,  i  i  i1 令 x x x 任取 [ , ] , i i 1 i x x     i 只要 max{ } 0时 1      i i n  x i n i i  f x 1 ( ) 总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间 [a, b]上的定积分, 1 x i x i1 x  b a f (x)dx 即   b a f (x)dx i n i i  f x  1 0 lim ( )  此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束