南京大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）关系、函数及其运算

关系、函数及其运算

关系、函数及其运算 1

回顾 问题1:什么是集合、集合论? 集合无定义,通过外延法、概括法描述 公理化集合论通过公理手段研究集合相关概念 问题2:集合的基本概念有哪些? 子集、空集、幂集、自然数(归纳集)、笛卡尔积 问题3:如何进行集合运算与集合公式证明? 集合的交并补、对称差、广义并、广义交 集合定义、恒等式、逻辑推演等

回顾 问题1：什么是集合、集合论？ - 集合无定义，通过外延法、概括法描述 - 公理化集合论通过公理手段研究集合相关概念 问题2：集合的基本概念有哪些？ - 子集、空集、幂集、自然数（归纳集）、笛卡尔积 问题3：如何进行集合运算与集合公式证明？ - 集合的交并补、对称差、广义并、广义交 - 集合定义、恒等式、逻辑推演等

本节提要 问题1:什么是关系?如何表示关系?如何 进行关系运算? 问题2:什么是函数?什么是单射、满射函 数?如何进行函数运算?

本节提要 问题1：什么是关系？如何表示关系？如何 进行关系运算？ 问题2：什么是函数？什么是单射、满射函 数？如何进行函数运算？

笛卡尔积(回顾) 口对任意集合A,B 笛卡尔积AxB={(4ba∈Ab∈B 口例:{1,2,3}×{ab}={(1,a),(2,a),(3,a) (1,b),(2,b),③3,b)} 口A={12},P(A)×A=? 口|A=m|B=n,|A×B|=? 口若A,B是有限集合,则|AxB|=|A|×|B

笛卡尔积(回顾)  对任意集合A, B 笛卡尔积 AB = {(a, b)|aA, bB}  例：{1,2,3}{a,b} = {(1, a), (2, a) , (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}  A={1,2}, P(A)×A=?  |A|=m, |B|=n, |A×B|=?  若A，B是有限集合，则|AB|= |A||B| 4

二元关系 口若A,B是集合,从A到B的一个关系R是AXB的一个 子集.( RCAXB) 口关系是集合,可以是空集(空关系) 口集合的元素是有序对 口若A=B:称为“集合A上的(二元)关系” 口例如:常用的数学关系(不大于、整除、集合包 含)、网页链接、文章引用、相互认识 口n元集合上有多少种不同的关系?

二元关系  若A, B是集合,从A到B的一个关系R是AB的一个 子集. （RAB）  关系是集合, 可以是空集（空关系）  集合的元素是有序对  若A=B：称为“集合A上的（二元）关系”  例如：常用的数学关系（不大于、整除、集合包 含）、网页链接、文章引用、相互认识  n元集合上有多少种不同的关系？ 5

特殊的二元关系 口集合A上的空关系:空关系即空集 口全域关系E:E4={(x,y|x,y∈A} 口恒等关系LA:I4={(x,x)xEA} 口函数f:AB R={(x,fx)|x∈A}是一个从A到硝的一个关系

特殊的二元关系  集合A上的空关系: 空关系即空集  全域关系 EA : EA ={ (x, y) | x, y A }  恒等关系 IA : IA={(x, x) | xA }  函数 f : A→B R={ (x, f(x)) | xA }是一个从A到B的一个关系 6

关系的表示 口假设A={abc4,B={a,1y//假设为有限集合 口集合表示:R1={(月,(b,∞,(ca,(c少} 0-1矩阵 有向图 010 b100 10 d000 B

关系的表示  假设A={a,b,c,d}, B={α,β,γ} // 假设为有限集合  集合表示: R1={(a, β), (b, α), (c, α), (c, γ)} 0-1矩阵 有向图 7             0 0 0 1 0 1 1 0 0 a 0 1 0 b c d    a d c b    A B

二元关系和有向图 关系 RCAXB 有向图(VD,ED) A和B是集合 顶点集VD=AB 有序对集合 有向边集ED (x,y)∈R 从x到有一条边 若A=B,R中存在序列:(x1x2) 图D中存在从x到xn的长 N(X2, x3). (Xn-1,XD) 度为n-1的通路

二元关系和有向图 8 关系 RAB A和B是集合 有序对集合 (x,y)R 若A=B, R中存在序列：(x1 ,x2 ), (x2 ,x3 ),…,(xn-1 ,xn ) 有向图 (VD , ED ) 顶点集 VD = AB 有向边集ED 从x到y有一条边 图D中存在从x1 到 xn 的长 度为 n-1的通路

关系的运算(1) 口关系是集合,所有的集合运算对关系均适用 例: 自然数集合上:“”等同于

关系的运算(1)  关系是集合, 所有的集合运算对关系均适用  例: ◼ 自然数集合上: “”等同于 9

关系的运算(2) 口与定义域和值域有关的运算 a dom r={x|3y(x,∈R} d ran r={y|彐x(x∈R fldR=domR∪ranR RA={(x)|x∈ AAxRyCR restriction也记作R个A,RA 口R[4]={y|丑x(x∈A∧(x∈}=ran( Crane 口例 口A={1,234,5},B={1356},A上关系R R={1,2),(1,4),(2,3),3,5),(5,2)}, 求R↑B、RB]

关系的运算(2)  与定义域和值域有关的运算  dom R = {x | y (x,y)R}  ran R = {y | x (x,y)R}  fld R = dom R  ran R  R A = {(x,y) | xA xRy}  R restriction 也记作 𝑅 ↾ 𝐴, 𝑅|𝐴  R[A] = {y | x (xA  (x,y)R)}= ran(RA)  ranR  例：  A={1,2,3,4,5}, B={1,3,5,6}, A上关系R： R={(1,2), (1,4),(2,3),(3,5),(5,2)}, 求 RB、R[B] 10