同济大学：《数学建模》课程教学资源（PPT课件讲稿）微分方程模型（主讲：关晓飞）

数学建模 微分方程模型 关晓飞 同济大学数学科学学院

数学建模－ 微分方程模型 关晓飞 同济大学数学科学学院

什么是微分方程? >最最简单的例子

一、什么是微分方程？ ➢最最简单的例子

引例一曲线通过点(1,2),且在该曲线任一点MXy) 处的切线的斜率为2X,求该曲线的方程。 解若设曲线方程为y=f(x),(1) 根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式: a21 对(1)式两端积分得:y=」2x=x2+C(3 又因曲线满足条件yx2=2 代入(3)得c= 因此,所求曲线的方程为y=x2+1

引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y ) 处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。 解 因此，所求曲线的方程为 2 y x = +1. 若设曲线方程为 y f x = ( ) (1) ， 又因曲线满足条件 1 | 2 x y = = 根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式： 2 (2) dy x dx = 对（1）式两端积分得： 2 y xdx x C = = + 2 (3)  代入（3）得C＝1

回答什么是微分方程 2x ■建立关于未知变量、 未知变量的导数以及y=xy, 自变量的方程 y+ 2y2-3y=e y de k(6-20 d M__nM

回答什么是微分方程： ◼ 建立关于未知变量、 ◼ 未知变量的导数以及 ◼ 自变量的方程 y x ' 2 = = − ( − 20)  k dt d dM M dt = − y = xy, 2 3 , x y + y − y = e

二、微分方程的解法 >积分方法,分离变量法

二、微分方程的解法 ➢积分方法，分离变量法

可分离变量的微分方程 g(y)y=∫(x)b可分离变量的微分方程 例如=2x2y→y小=2x2dk, 解法设函数g(y)和∫(x)是连续的, g(y)dy=lf(x)ds 分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解

可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4  y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的,   g( y)dy = f ( x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F( x) + C 为微分方程的解. 分离变量法

典型例题 例1求解微分方程=2x的通解 解分离变量=2xd, 两端积分 = 2xdx In y=x+ 中yC y=Cex为所求通解

例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 ,   = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2  y = Ce x 为所求通解 典型例题

初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题. 阶 ∫y=∫(x,y) 过定点的积分曲线; X=x 「y"=f(x,y,y) 二阶: X=r x=r 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线

过定点的积分曲线;    =  = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶:    =  =   =  = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题

ydx+(x+ldy=o 例2.解初值问题 (0)=1 解:分离变量得 d 1+x 两边积分得my=b1+mC √x2+1 即 y√x2+1=C(C为任意常数) 由初始条件得C=1,故所求特解为 y√x2+1=

例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 xy x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得C = 1, 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) =1

、建立微分方程数学模型 1、简单的数学模型 2、复杂的数学模型

三、建立微分方程数学模型 1、简单的数学模型 2、复杂的数学模型