《高等代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）行列式按行（列）展开

理氧工 第五节行列式按行(列展开 、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列展开法则

1 第五节 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则

建的工程学 列式 Archtechalf 、余子式与代数余子式 例如 41@12413 123+a122331+a13213 21 22 3 u142332-a12213-13231 32 33 1(2233-a23 2)+ 12(2331-a 21033 C13 2132 22031 22 23 21 2 Fa 32 33 结论三阶行列式可以用二阶行列式表示, 思考题任意_个行列式是否都可以用较低阶的表示? 55行列式按行(列展开 5 February2021合2

2 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 2 第一章 行列式 5 February 2021 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1, 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 例如 ( ) = a11 a22a33 − a23a32 ( ) + a12 a23a31 − a21a33 ( ) + a13 a21a32 − a22a31 32 33 22 23 11 a a a a = a 一、余子式与代数余子式 31 33 21 23 12 a a a a − a 31 32 21 22 13 a a a a + a 结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示. 思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？

建的工程字防 列式 Archtechral Engneering Deoartment 在n阶行列式中,把元素41所在的第i行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素an 的余子式,记作M, 记4=(-1)M叫做元素an的代数余子式 例如 11 12 13 13 14 D M.= 22 31 33 34 34 43 44 42 2+2 2 M M 22 22 55行列式按行(列展开 5 February20214合3

3 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 3 第一章 行列式 5 February 2021 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记 ( ) ij， i j Aij M + = − 1 叫做元素 aij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 4 1 4 3 4 4 3 1 3 3 3 4 1 1 1 3 1 4 2 2 a a a a a a a a a M = ( ) 22 2 2 A22 1 M + = − . = M22

建的工程学 列式 Archtectural Engineering Department aii412#1314 3 D= 2122 23 24 31m2 12 31 34 32 33 34 a 4i"442"43t44 3 A2=(-1)+2M1 =-M 12 12 12 13 M4=1a2a2yA1=(1)+M=M 32 33 结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素,所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式 55行列式按行(列展开 5 February2021合4

4 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 4 第一章 行列式 5 February 2021 , 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − M = M + 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式

建的工程字防 列式 Archtechral Engneering Deoartment 引理一个n阶行列式,如果其中第i行所有 元素除a外都为零,那么这行列式等于与它的 代数余子式的乘积,即D=an4 12a 14 例如D 22 23 24 01……0-…ax…0 41 a 42 43 44 12 14 3+3 3321a 22 24 41 42 55行列式按行(列展开 5 February2021合5

5 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 5 第一章 行列式 5 February 2021 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 D = aijA．ij n i ij a ij a 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( 1) . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如

建的工程字防 列式 Archtechral Engneering Deoartment 证当a位于第一行第一列时, D= 21 n 12 n 即有D=a1M1·(根据P14例1的结论块形行列式)) 又A1=(-1)M1=M1, 从而D=a141 难证明的是一般情形. 55行列式按行(列展开 5 February2021合6

6 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 6 第一章 行列式 5 February 2021 证 当 ij 位于第一行第一列时, a n n nn n a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . D = a11M11 又 ( ) 11 1 1 A11 1 M + = − , = M11 从而 . D = a11A11 难证明的是一般情形. （根据P.14例10的结论(块形行列式））

建的工程字防 列式 ArchitectuaL ring Department 我们以4阶行列式为例 12 3 14 13 12l,n 000 (-1) 000 000 34 000 34 152 11 12 13 14 12 13 14 22 23 24 2 23 24 42 44 42 43 44 思考题:能否以(替上述两次行变?2dA电 55行列式按行(列展开 5 February2021合7

7 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 7 第一章 行列式 5 February 2021 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 34 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a 我们以4阶行列式为例. 2 3 34 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 0 0 0 ( 1) r r a a a a a a a a a a a a  a = − 1 2 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 3 44 4 2 0 0 0 ( 1) r r a a a a a a a a a a a a a  = − 思考题：能否以r r 1 3 代替上述两次行变换？ 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 4 34 (3 1 4 ) 0 0 0 ( 1) a a a a a a a a a a a a a − = −

建的工程学 第一章行列式 Architectural Engneering De C3 Cfc a13a142 (-1)3(-1)3 12 43 41 42 000 a4被调换到第行,第列 (-1)3(-1) 4-1)14 12 13 11 12E 13 --0-9 aa 42 2 (-)a34 a2a2|=(-1)“an,M 4-34 343 a mel 43 55行列式按行(展 5 February2021合8

8 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 8 第一章 行列式 5 February 2021 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 4 34 (3 1 4 ) 0 0 0 ( 1) a a a a a a a a a a a a a − = − 3 4 2 3 1 2 14 11 12 13 24 21 22 23 44 4 34 (3 1) 3 3 1 42 4 0 0 0 ( 1) ( 1) c c c c c c a a a a a a a a a a a a a   −  = − − 14 11 12 34 (3 1) 13 24 21 22 23 44 41 42 43 (4 1) 0 0 0 ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a − − = − − 342 ( 1) + − = − 3 4 34 ( 1) a + = − 34 34 = a A a34 被调换到第1行，第1列 11 12 13 21 22 23 41 42 43 34 a a a a a a a a a a M34 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 34 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a

建的工程字防 列式 思考题:能否以r<替上述两次行变换? 000 =(-1) 13 13 000 22, 43 42 答:不能 55行列式按行(列展开 5 February2021合9

9 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 9 第一章 行列式 5 February 2021 2 3 1 2 34 2 34 41 42 43 44 41 42 43 44 11 12 1 21 22 23 3 14 24 11 12 13 14 21 22 23 24 0 0 0 ( 1) 0 0 0 r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a   = − 思考题：能否以 代替上述两次行变换？ 1 3 34 34 41 11 12 1 42 3 14 11 1 43 44 41 4 21 22 23 24 21 22 23 2 2 13 2 3 4 1 4 4 4 4 0 0 0 ( 1) 0 0 0 r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a  = − 答：不能. 1 3 r r 

建的工程字 列式 一般情形证明:a1 In D=0 n 把D的第i行依次与第i-1行,第i-2行,第1行对调, 得D=(-1yaut n 55行列式按行(列展开 5 February20214合10

10 © 2009, Henan Polytechnic University §5 行列式按行(列)展开 10 第一章 行列式 5 February 2021 n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 把D的第i行依次与第i −1行,第i − 2行,第1行对调, 得 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a D             1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = − ij a aij 一般情形证明: