《高等数学》课程教学资源（PPT讲稿）定积分讲稿

问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y=f(x) y=f(x)(∫(x)≥0)、 A=? x轴与两条直线x=a、 x=b所围成

a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 一、问题的提出 y = f (x)

用矩形面积近似取代曲边梯形面积 b x (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积

a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和 1.05556(积分近似值) 播放

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放

曲边梯形如图所示,在区间[a,b内插入若干 个分点,a=x<x1<x2<…<xn1<xn=b 把区间a,b分成n 个小区间[x1,x 长度为△x1=x1-x1; 在每个小区间[x1,x 上任取一点 O a xr xi-Exi xm-b 以[x1,x;为底,f(2:)为高的小矩形面积为 A2=∫(;)△x

曲边梯形如图所示， , [ , ] a x0 x1 x2 x 1 x b a b 个分点， =    n−  n = 在区间 内插入若干 a b x y o  i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − −  i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi  [ , ] −1 i i xi A = f ( ) 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为

曲边梯形面积的近似值为 A≈∑f(5)r 当分割无限加细即小区间的最大长度 =max{△x1,x2,…△xn} 趋近于零(λ→0)时, 曲边梯形面积为A=lim2f()x →>0

i n i A   f i x = ( ) 1  曲边梯形面积的近似值为 i n i A =  f i x = → lim ( ) 1 0   趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → =      x x  xn 曲边梯形面积为

实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v=v()是 时间间隔[T1,T2上的一个连续函数,且 v()≥0,求物体在这段时间内所经过的路程. 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值

实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是 时间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且 v(t)  0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．

分割T1=t<1<L2<…<tn1<tn=T AM=t1-t1As,≈v(zA 部分路程值 某时刻的速度 (2)求和s≈∑v)A (3)取极限x=maxA1,△M2,…,△An} 路程的精确值s=lim∑v(τ)千

（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t =    n−  n =  i = i − i−1 t t t i i i s  v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s  v t = ( ) 1  （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n  = t t  t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0   路程的精确值

定积分的定义 定义设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入 若干个分点a=x0<x1<x2<…<xn1<x=b 把区间m,6分成个小区间,各小区间的长度依次为 △x1=x2-x1,(i=1,2,…),在各小区间上任取 点5;(5∈△x;),作乘积f()x;(i=1,2,…) 并作和S=∑f(5)△x, i=1 记=max{△x1,△x2,…,Axn},如果不论对a,b

设函数 f (x)在[a,b]上有界， 记 max{ , , , }  = x1 x2  xn ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0  1  2  n−1  n = 把区间[a,b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )，在各小区间上任取 一点 i（ i xi），作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 并作和 i i n i S =  f x = ( ) 1  ， 二、定积分的定义 定义

怎样的分法,也不论在小区间x=1,x上 点与怎样的取法,只要当λ→0时,和S总趋于 确定的极限Ⅰ,我们称这个极限为函数∫(x) 在区间[a,b上的定积分,记为 识分上限 积分和 f(x)x=I=m∑f5A →>0 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 la,b积分区间

怎样的分法，  = = ba f (x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0   被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法，只要当 → 0时，和S总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为 积分上限 积分下限 积分和

注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关 /(r)dx=lf(t)dt=L,f(u)du (2)定义中区间的分法彬;的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b上的定积分存在时, 称f(x)在区间a,b上可积

注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，  b a f (x)dx  = b a f (t)dt  = b a f (u)du （2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的. （3）当函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分存在时， 而与积分变量的字母无关. 称 f (x)在区间[a,b]上可积