《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 向量空间

Ch4 第一节向量组的线性相关 与线性无关 >一、向量、向量组与矩阵 线性相关性的概念 线性相关性的判定 >四、向量组的线性相关性质 五、线性表示、线性相关以及 线性无关三者的关系 >六、小节、思考题

Ch4 向量空间 第一节 向量组的线性相关 与线性无关 一、向量、向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 六、小节、思考题 四、向量组的线性相关性质 线性无关三者的关系 五、线性表示、线性相关以及

、向量、向量组与矩阵 n维向量写成一行,称为行向量,也就是行 矩阵,通常用a,b,a,B等表示,如 T =( 1a2…,a, n维向量写成一列,称为列向量,也就是列 矩阵,通常用a,b,a,B等表示,如 = 上或

( , , , ) 1 2 n T a = a a  a               = an a a a  2 1 一、向量、向量组与矩阵 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用   等表示，如： T T T T a ,b , , n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a,b,, 等表示，如： n

若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵A=(,)有n个m维列向量 nXI a11a12 21a22 a2j ∴2n alam n 向量组,m2,…,an称为矩阵A的列向量组 上或

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩 阵A ai j 有n个m维列向量 m n ( )  =               = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 ,  , an 称为矩阵A的列向量组. a1 a2 a j an

类似地矩阵4=(a;)又有m个m维行向量 mxI 1112 lin 2122 a2n 02 ail li2 ai ali T aml (m2 am 向量组a1,a2,…,am称为矩阵A的行向量组 上或

类似地 矩 阵A ai j 又 有m个n维行向量 m n , ( )  =                   = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1  T 1  T 2  T i  T m  T 1  T 2  T i  T m 向量组  , , …， 称为矩阵A的行向量组． T 1  T 2  T m

反之,由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵 m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,…,an, 构成一个m×m矩阵 A=(0x1,a2,,am) T m个n维行向量所组成 的向量组B1,B2,Bn, B8 构成一个m×n矩阵 T B 上或

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 构成一个 矩阵 个 维列向量所组成的向量组 m n m n m  , , , , 1  2   构成一个 矩阵 的向量组 个 维行向量所组成 m n m n T m T T  , , ,  1  2                = T m T T B     2 1 ( , , , ) A = 1  2   m

线性方程组的向量表示 a1x1+a12-2+…+a1n+n=b1, a121x1+a22 2n Cn b 2 aml.c1+am2 3C2+.t amman + bm 1+ax+…+zxn=Lb 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 上或

1 x1 +2 x2 +  + n xn = b 线性方程组的向量表示        + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m mn n m n n n n     方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．

定义1给定向量组4:a1,a,…,an,对于任何一 组实数k,k2…,kn,向量 k1a1+k2a2+…+knan 王称为向量组的一个线性组合k,k,k称为这 个线性组合的系数 上或

组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2  定义１     . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ， k ，k ， km称为这 向 量 k11 + k2 2 ++ km m 线性组合

给定向量组A:a1,a2,…Cn和向量b如果存在 组数气,A2,…,n使 b=1a1+2a2+…λn 王则向量b是向量组4的线性组合,这时稍向量b能 由向量组A线性表示 即线性方程组 x1a1+x2C,+…+xnan=b 有解.也就是方程组Ax=b有解, 其中,A=[a,a2,…an 上或

b = 11 + 2 2 +   m  m 一组数 ， ， ， 使 给定向量组 和向量 如果存在 m A m b      , : , , , , 1 2 1 2   . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x  + x  +  + xm m = b 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 能 由向量组 线性表示． b A 也就是方程组 Ax = b 有解，  , , . 其中，A = 1 2 n

定理1向量b能由向量组4线性表示的充分必要 条件是矩阵A=(a1,a2,…,an)的秩等于矩阵 B=(ax1,a2x…,an,b)秩 2 0 例:向量b=-3即可由向量组a1=0a2=|1 0 a3=0线性表示,且为:b=2a1-3a2+0a3 上或

( , , ) . ( , ) 1 2 1 2 ， ， 的 秩 条件是矩阵 ， ， 的秩等于矩阵 向 量 能由向量组 线性表示的充分必要 B b A b A m m         = = 定理1 例：向量 即可由向量组 ， ，           =           =           = − 0 1 0 0 0 1 0 3 2 b 1  2 3 2 1 3 2 0 3 1 0 0  =  −  +            = 线性表示，且为：b

因为 1002 B=[4,b=[a1,a2a3,b]=010-3 0010 即r(A)=r(B) 上定义2设有两个向量组 A:a1,a2,…,n及B:月1,B2,…,月, 王若组中的每个向量都能由向量组线性表示,则 称向量组蹦由向量组线性表示若向量组4与向 量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价 上或

. : , , , : , , , . 1 2 1 2 量 组 能相互线性表示，则称这两个 称 若向量组 与 向 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 及 设有两个向量组 B A B A A     m B     s 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． B A 定义２ 即r(A) = r(B).)             = = = − 0 0 1 0 0 1 0 3 1 0 0 2 [ , ] , , , B A b 1  2  3 b (因为