《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 微分方程（习题课）

第八章习题课 主要内容 、典型例题

第八章 习题课 一、主要内容 二、典型例题

、主要内容 阶方程 基本概念 高阶方程 可降阶方程 类型 二阶常系数线性 1.直接积分法 方程解的结构 2.可分高变量 3.齐次方程 特征方程法 绕性方程 4.可化为齐次 解的结构 方程 待特征方程的根 5.全微分方程 6.线性方程 定系数法 及其对应项 定理1;定理2 定理3;:定理4 f(x)的形式及其 特解形式 7.伯努利方程

一阶方程 基本概念 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待 定 系 数 法 特征方程法 一、主要内容

微分方程解题思路 作变换 分离变量法 非非 变全 阶方程 全微分方程 量微 作 积分因子可分 变了降 常数变易法 分方 换盼 高程 高阶方程特征方程法 待定系数法

微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非 全 微 分 方 程 非 变 量 可 分 离 降 阶 作 变 换 作变换 积分因子

1、基本概念 微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解

1、基本概念 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．

通解如果微分方程的解中含有任意常数,并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的 解叫做微分方程的通解, 特解确定了通解中的任意常数以后得到的解, 叫做微分方程的特解 初始条件用来确定任意常数的条件 初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题, 叫初值问题

通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．

2、一阶微分方程的解法 (1)可分离变量的微分方程 形如g(y)y=∫(x)d 分离变量法 解法∫8()=「f(x)c (2)齐次方程形加d=f( 解法作变量代换Ⅱ=y

形如 g( y)dy = f (x)dx (1) 可分离变量的微分方程 解法 g y dy f x dx ( ) ( ) =   分离变量法 2、一阶微分方程的解法 ( ) x y f dx dy (2) 齐次方程 形如 = 解法 y u x 作变量代换 =

(3)可化为齐次的方程 形如 ar+ by C d x ax+b,y+ 当c=c1=0时,齐次方程.否则为非齐次方程 解法令x=X+h, y=Y+k,化为齐次方程 (其中h和k是待定的常数)

( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + 形如 = 当c = c1 = 0时, 齐次方程． x X h, y Y k = + = + 令 ， （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程． (3) 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程．

(4)一阶线性微分方程 形如 +P(x)y=e(x) 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)年0,上方程称为非齐次的 解法齐次方程的通解为丿=C∫rxlh (使用分离变量法)

P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = (4) 一阶线性微分方程 当Q(x)  0, 上方程称为齐次的． 当Q(x)  0, 上方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 . ( )  = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 解法

非齐次微分方程的通解为 「P(x)t P(x)dx y=l 2(x)e dx+C] (常数变易法) (5)伯努利( Berno方程 形如 +P(x)y=Q(x)y(n≠0,1) 当n=0,时,方程为线性微分方程 当n≠0,时,方程为非线性微分方程

非齐次微分方程的通解为  +  = −  P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] （常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n  0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n  0,1时， 方程为非线性微分方程

解法需经过变量代换化为线性微分方程 令z (1-n)P(x) e (Q(x)(1-n)e dx +c) (6)全微分方程 形如P(x,y)dx+Q(x,y)y=0 其中du(x,y)=P(x,y)dhx+Q(x,y)如y

解法 需经过变量代换化为线性微分方程． 1 , n z y − 令 = ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1  +  −  = = − − − − e Q x n e dx c y z n P x d x n P x d x n P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 其中 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 形如 (6) 全微分方程