信息工程大学：《数学建模方法及其应用》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十七章 多目标决策分析方法

G信息工程大学 INFORMATION ENGINEERING UNIVERSITY 数学建模款学片 第十七章多目标决第分析方法 设计制作:韩中庚 杜剑平 信息工程学院指挥管理系

■■■ CHiErI 第十七章多目标决策分析方法 ■■■ 主要内容 中多目标决策问题及模型; 多属性效用函数的理论; 中多目标决策问题的非劣解 多目标群决策问题的解; 中案例分析:股份制公司的综合投资。 息瞿大学 2021年2月7日

第十七章 多目标决策分析方法 3 2021年2月7日 多目标决策问题及模型； 多属性效用函数的理论； 多目标决策问题的非劣解； 多目标群决策问题的解； 案例分析：股份制公司的综合投资

■■■ 多目标决策问题及模型 1问题的引入-综合投资 CHiErI ■■■国■ 公司要确定下一年度的投资组合方案问题,在可供选 择的多个候选方案中,往往都是收益与风险并存.如何选 择合适的投资组合方案,使收益最高,风险最小呢? 设某股份公司有n个股东,每个股东所持股份的 比例分别为S(k=1,2…,n).公司计划投入M万元 资金用于下一年度N个预选项目的投资,对任何 个投资项目都是风险与收益并存,而且风险随着收益 的增加而增大 息瞿大学 2021年2月7日

一、多目标决策问题及模型 4 2021年2月7日 1.问题的引入---综合投资问题 公司要确定下一年度的投资组合方案问题,在可供选 择的多个候选方案中，往往都是收益与风险并存．如何选 择合适的投资组合方案，使收益最高，风险最小呢? 设某股份公司有 n 个股东，每个股东所持股份的 比例分别为 s (k 1,2, ,n) k =  ．公司计划投入 M 万元 资金用于下一年度 N 个预选项目的投资，对任何一 个投资项目都是风险与收益并存，而且风险随着收益 的增加而增大

■■■ 多目标决策问题及模型 1问题的引入-综合投资 CHiErI ■■■国■ 每个项目的收益和风险都与一些不确定的因素 有关(即可视为随机变量),其期望值分别为 P,(i=12…,N).董事会规定,如果确定投资某 个项目,则该项目至少投资m万元 问题:董事会如何充分考虑公司的利益和综合各 股东的意见做出最后的投资决策方案. 息瞿大学 2021年2月7日

5 2021年2月7日 一、多目标决策问题及模型 1.问题的引入---综合投资问题 每个项目的收益和风险都与一些不确定的因素 有 关 ( 即 可 视 为 随 机 变 量 ) ， 其 期 望 值 分 别 为 p ,r (i 1,2, ,N) i i =  ．董事会规定，如果确定投资某 一个项目，则该项目至少投资 m 万元． 问题：董事会如何充分考虑公司的利益和综合各 股东的意见做出最后的投资决策方案．

■■■ CHiErI -,多目标决策问题及模型 ■■■国■ 2.多目标决策问题的解决过程 (1)问题的构成:分析问题,明确主要因素、界 限和所处的环境等,确定问题的目标集 (2)建立模型:由上一步的结果,建立问题的适 宜模型 (3)模型的分析与评价:对各可行方案进行分 析比较,为每一个目标标定属性(目标函数),其 属性的值用作采用某方案时各个目标的一种度量 (4)确定实施方案:依据各目标的属性值和决 策规则比较各可行方案,按优劣次序将方案排序, 确定出最佳的实施方案 息瞿大学 2021年2月7日

6 2021年2月7日 一、多目标决策问题及模型 2. 多目标决策问题的解决过程 (1)问题的构成: 分析问题，明确主要因素、界 限和所处的环境等，确定问题的目标集． (2)建立模型: 由上一步的结果，建立问题的适 宜模型． (3) 模型的分析与评价：对各可行方案进行分 析比较，为每一个目标标定属性（目标函数），其 属性的值用作采用某方案时各个目标的一种度量． (4) 确定实施方案: 依据各目标的属性值和决 策规则比较各可行方案，按优劣次序将方案排序， 确定出最佳的实施方案．

■■■ CHiErI 多目标决策问题及模型 ■■■国■ 3、多目标决策问题的基本要素 多目标决策问题的五个基本要素:决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则 决策单元:制订决策的人(一个或一群人)∵ 目标决策人对研究问题的“要求”或“愿望 ,通常有若干个不同的目标构成一个目标集 属性实现目标程度的一个度量即每一个目标都 可设定一个或若干个属性构成一个属性集; 决策情况:指决策问题的结构和决策环境 决策规则:用于排列方案优劣次序的规则。 息瞿大学 2021年2月7日

7 2021年2月7日 3、多目标决策问题的基本要素 一、多目标决策问题及模型 多目标决策问题的五个基本要素：决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则． •决策单元:制订决策的人（一个或一群人）； •目标:决策人对研究问题的“要求”或“愿望” ，通常有若干个不同的目标构成一个目标集； •属性:实现目标程度的一个度量,即每一个目标都 可设定一个或若干个属性,构成一个属性集； •决策情况:指决策问题的结构和决策环境； •决策规则:用于排列方案优劣次序的规则

■■■ CHiErI 多目标决策问题及模型 ■■■国■ 4、多目标决策问题的数学模型 设X为方案集,决策变量x=(x,x2…x)∈X为方案, 属性f1(x),f2(x)…,f(x)表示目标函数.对于给定的 x∈X,由目标函数可以确定每一个属性f1f2;…f的值 实际中,方案集Ⅹ可以是有限的,或无限的.不妨设x的所 有约束都能用不等式表示出来,即 g(x)≤0, 方案集X(又称决策空间中的可行域)可以表示为 X={x∈R|g(x)≤0,i=12,…,m} 息瞿大学 8 2021年2月7日

8 2021年2月7日 4、多目标决策问题的数学模型 一、多目标决策问题及模型 设 X 为方案集，决策变量 1 2 ( , , , ) N x =  x x x X 为方案， 属 性 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x n f f  f 表 示 目 标 函 数 ． 对 于 给 定 的 x X ，由目标函数可以确定每一个属性 n f , f , , f 1 2  的值． 实际中，方案集 X 可以是有限的，或无限的．不妨设 x 的所 有约束都能用不等式表示出来，即 gi (x)  0,i =1,2,  ,m （1） 方案集 X （又称决策空间中的可行域）可以表示为 X { R | g ( ) 0,i 1,2, ,m} i = x  N x  = 

■■■ 4、多目标决策问题的数学模型 ■■■国■ 一般多目标决策问题的数学模型为 DR[f1(x)f2(x),…,f(x) x∈X X={x∈R|g(x)≤0,i=1,2,…,m 其中DR( decision rule)表示决策规则。 模型的意义是运用决策规则DR依据属性∫1,f2;…,fn的值 在X中选择一个最好的方案. 息瞿大学 2021年2月7日

9 2021年2月7日 4、多目标决策问题的数学模型 一般多目标决策问题的数学模型为     =   =  { | ( ) 0, 1,2, , } [ ( ), ( ), , ( )] 1 2 X R g i m DR f f f i N n X   x x x x x x (2) 其中 DR （decision rule）表示决策规则。 模型的意义是运用决策规则 DR 依据属性 n f , f , , f 1 2  的 值 在 X 中选择一个最好的方案．

■■■ 4、多目标决策问题的数学模型 ■■■国■ 例如,设有一个确定的无限个方案的多目标决策问题 属性集:{1,2…,fn}, 目标集:{f1(x)f2(x)…,f(x 方案集:X={x∈R|g;(x)≤0,i=1,2,…,m}, 决策规则:若有某方案能使f1,∫2;…厂都能达到最优,则 可选择这个方案,即决策问题的解;否则可选择一个非劣的方案, 使能最好地满足决策人的要求 求解多目标决策问题的非劣解,即求向量最优化问题 Qpt{1(x),2(x)…,fn(x)}(3) x∈X 的解 信息瞿大唐 2021年2月7日

10 2021年2月7日 例如，设有一个确定的无限个方案的多目标决策问题： 属性集：{ , , , } 1 2 n f f  f ， 目标集：{ ( ), ( ), , ( )} 1 2 x x x n f f  f ， 4、多目标决策问题的数学模型 方案集： X { R | g ( ) 0,i 1,2, ,m} i = x  N x  =  ， 决策规则：若有某方案能使 n f , f , , f 1 2  都能达到最优，则 可选择这个方案，即决策问题的解；否则可选择一个非劣的方案， 使能最好地满足决策人的要求． 求解多目标决策问题的非劣解，即求向量最优化问题 { ( ), ( ), , ( )} 1 x 2 x x x n X opt f f  f  (3) 的解．

■■■ 4、多目标决策问题的数学模型 ■■■国■ 问题的非劣解集X既可能是单元素集,也可是多 元素集 如果是多元素集,则非劣解不唯一,决策人根据偏 好选择最佳的方案 选择方案的方法:依据决策人的“偏好结构”,一般偏好 结构可用效用函数(1(x),2(x),…,fn(x)来表示非劣方 案的效用,即可转化为求解 maxus(x),f(x), ,f(x)(4 x∈X 的问题 息瞿大学 11 2021年2月7日

11 2021年2月7日 4、多目标决策问题的数学模型 问题的非劣解集 * X 既可能是单元素集，也可是多 元素集． 如果是多元素集，则非劣解不唯一，决策人根据偏 好选择最佳的方案． 选择方案的方法：依据决策人的“偏好结构”，一般偏好 结构可用效用函数 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 x x x n u f f  f 来表示非劣方 案的效用，即可转化为求解 max ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 * x x x x n X u f f  f  (4) 的问题．