《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何学上的应用

第二节 第六章 定积分在几何学上的应用 平面图形的面积 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 *四、旋转体的侧面积补充 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章

平面图形的面积 1直角坐标情形 yt y=f(x) 设曲线y=f(x)(0)与直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围曲 a x 边梯形面积为A,则 6 x xtd da=f(x)dx y=fi(x)y=f2(x) A=f(x)dx 右下图所示图形面积为 A=(x)-(x) dxo axx+dxb文 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 y a b x ( ) 2 ( ) y = f x 1 y = f x O 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 dA = f (x)dx A f x x b a ( )d  = 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 A f x f x x b a ( ) ( ) d =  1 − 2 O a b x y y = f (x) x + dx x x x + d x

例1.计算两条抛物线y2=x,y=x2在第一象限听围 图形的面积 X 解:由 DX 得交点(0,0),(1,1) =X A=Lx-x2)dx y=x 231 x+d 0 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点 (0, 0) , (1,1) d A ( x x )dx 2 = − 3 1 =   = 1 0 A x y O y = x 2 2 y = x x x + d x (1,1) 1

例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围图形 的面积 解:由 2=2X得交点 y=x y+dyl (8,4) (2,-2),(8,4 为简便计算选取y作积分变量,d x-4 则有 A=(y+4-5y2)dy +4 18 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 O y 2x 2 = y = x − 4 x y 例2. 计算抛物线 y 2x 2 = 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 (2, − 2) , (8, 4) (8,4) d A ( y 4 y )dy 2 2 1 = + − =18 y = x − 4 所围图形 (2,− 2) 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 −  = 4 2 A y y + d y

X 例3.求椭圆-+ 1所围图形的面积 b 解:利用对称性,有dA=ydx A=4 lo vdr 利用椭圆的参数方程 Lxx+dya x x=acos t ly=bint (0≤t≤2m) 应用定积分换元法得 A=4 bint (asin)dt=4absin'tdt =4ab22=b当a=b时得圆面积公式 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 a b 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , d A = y dx 所围图形的面积 . 有  = a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2π) sin cos   = = t y b t x a t 应用定积分换元法得  = 2 π 0 2 4ab sin t dt = 4ab 2 1  2 π  = π ab 当 a = b 时得圆面积公式 x x + d x x y O

一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程 ∫x=0() y=v() 给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值4,t2 b X 1对应x=a) (1对应x=b) 则曲边梯形面积A ∫ v(t)·q(t)dr HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 O 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积

例4求由摆线x=a(t-sinn),y=a(1-cost)(a>0) 的一拱与x轴所围平面图形的面积 Af: A=l(1-cost).a(1-cost)dt (1-cost)dt y 兀 =4a sin+-dt 2 兀ax 8a sin4udu(令l 16a 4 sin uau 16a 1几=3πa 422 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y O 2 π a 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: dA = a(1− cost) a(1− cost)d t t t a d 2 4 sin 2π 0 2 4  = ) 2 ( t 8a sin u d u 令u = π 0 2 4  = 16a sin u d u 2 π 0 2 4  = 2 = 3π a  = 2π 0 A a (1 cost) d t 2π 0 2 2  = −

2.极坐标情形 设p(0)∈Ca,B],0(O)≥0,求由曲线r=(O)及 射线θ=α,θ=β围成的曲边扇形的面积 在区间a,B上任取小区间[0,0+d0] 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d4=[o(O)]2d () de 所求曲边扇形的面积为 A 2(0)d6 6 O HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . r =( )   d 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 ( ) d 2 1 d 2 A = 所求曲边扇形的面积为      ( )d 2 1 2  A =  O x

例5计算阿基米德螺线r=(a>0)对应0从0变 到2π所围图形面积 6 解:A=(aO)2d 2 ta O 2兀 de 3 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5. 计算阿基米德螺线 对应  从 0 变 解:  d (  ) d 2 1 2 a  = 2π 0 A 2 2 a =       3 3 1  0 2π 3 2 π 3 4 = a 到 2 所围图形面积 . 2 π a O x

例6计算心形线r=a(1+cos0)(a>0)所围图形的 面积.心形线 解:A=2(21(1+c09)2dO(俐用对称性) 4 c0s4Ude 令t= 6 2a x 8a cost dt 31丌3 8a 兀CL HIGHER EDUCATION PRESS △0 心形线目录上页下页返回结束

心形线 目录 上页 下页 返回 结束 O 2a x 8a cos t dt 2 π 0 2 4  = 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解:  d (1 cos ) d 2 1 2 2 a +  = π 0 2 a   d 2 4cos4 (利用对称性) 2  令t = =  2 8a  4 3  2 1 2 π 2 π 2 3 = a 心形线