《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 解析函数（Analytic function）

第二章解析函数 (Analytic function §2.1解析函数的概念 §2.2解析函数与调和函数的关系 §2.3初等函数

第二章 解析函数 (Analytic function) §2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与调和函数的关系 §2.3 初等函数

第一讲 §2.1解析函数的概念 §2.2解析函数和调和函数的关系

第一讲 §2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数和调和函数的关系

§2.1解析函数的概念 (The conception of analytic function 复变函数导数与微分 二、解析函数的概念与求导法则 三、函数解析的一个充分必要条件

§2.1 解析函数的概念 (The conception of analytic function) 一、复变函数导数与微分 二、解析函数的概念与求导法则 三、函数解析的一个充分必要条件

复变函数导数与微分 定义2.1设函数=f()在点=的某邻域内有定义, i+△是邻域内任意一点, AMw=f(z+Lz)-f(z),如果 lim -= lim f(x+4)-f(x0) =4(有限值 A+044z→0 则称函数f(z)在处可导,A称为函数f(z)在x处的 导数,记为∫(z),即 f(ao=lim f(z0+4z)-f(o) A→>0

一、复变函数导数与微分 是邻域内任意一点， 设函数 在点 的某邻域内有定义 z z w f z z , +  = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 有限值 ，如果 A z f z z f z z w w f z z f z z z = + − = = + − → →         0 0 0 导数，记为 ，即 则称函数 在 处可导， 称为函数 在 处的 '( ) ( ) ( ) f z f z z A f z z z f z z f z f z z    ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 + − = → 定义2.1

由此可得=f"(zn)+0LD(L→0) 称f(z)为函数f(x)在处的微分,也称函数 f(在n处可微。记作 df() =f zo az 说明 1)按任意方式趋于零; 2)()在:可导与八(在乙可微等价; 3若(在=处可导,则八(在处连续; 4当A>0时,的极限不存在,称f()在不可导

'( ) (| |) ( z 0) 由此可得w = f z0 z + o z  → ( ) df (z ) f (z )dz f z z f z z f z z 0 0 0 0 0 '( ) ( ) =  在 处可微。记 作 称  为函数 在 处的微分，也称函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (z) z . z w ( ) z f z z f z z ; f z z f z z ; Δz 当 时， 的极限不存在，称 在 不可导 若 在 处可导，则 在 处连续 在 可导与 在 可微等价 0 0 0 0 0 4 0 3 2    → (1) 按任意方式趋于零； 说明：

例1证明f(z)=Re在复平面上的任何点都不可导 证明对于复平面上任意一点 4f_Re(=0+△)-Re(=0)x+4x-x △ △ △z Ax+i小y △x+iy 当△取实数趋于时,Δ/z→1 △f厂 当△取纯虚数趋时4A→0处不存在 即(=)在z不可导,由于z的任意性,f()在复平面上 任何点都不可导 注意:f()在整个复平面上处处连续

例1 证明 f (z) = Rez在复平面上的任何点都 不可导. z Re( z z ) Re( z ) z f z  +  − =   0 0 证明 对于复平面上任意一点 0 x i y x x x    + + − = x i y x  +   =       →    → z , f z ; z , f z ; 0 0 0 1 当 取纯虚数趋于时 当 取实数趋于 时 . z f lim z 不存在     →0 ( ) ( ) . f z z z f z 任何点都不可导 即 在 0 不可导，由于 0 的任意性， 在复平面上 注意：f ( z )在整个复平面上处处连续

二、解析函数的概念与求导法贝 1、解析函数的概念 定义22如果()在2及的某邻域内处处可导, 则称f(二)在=处解析如果f()在=0不解析,则 称z0为f()奇点 如果∫(z)在区域D内处处解析,则称(z 在D内解析,我们也()是D内解析函数 如果f(z)在区域G内解析,而闭区域上每 点都属子G,那么称f(z)在闭区域D上解析

二、解析函数的概念与求导法则 称 为 的奇点。 则称 在 处解析如果 在 不解析，则 如果 在 及 的某邻域内处处可导， ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 0 0 0 0 z f z f z z f z z f z z z D f (z) D . f ( z ) D f ( z ) 在 内解析，我们也说 是 内解析函数 如 果 在区域 内处处解析，则称 G, f ( z ) D . f ( z ) G D 一点都属于 那么称 在闭区域 上解析 如 果 在区域 内解析，而闭区域 上 每 定义2.2 1、解析函数的概念

注1“解析”有时也称“全纯”、“正则 注2函数解析性不是函数在一个孤立点的性质, 而是函数在一个区域上的性质 注3若函数在一点解析,则一定在这个点可导,反 之,在一个点的可导不能得到在这个点解析 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 城的一个更大的区域内解析

注1 “解析”有时也称“全纯” 、 “正则” . 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4 闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析

2、求导法则 (1)四则运算法则 如果f(z和g(z)在区域D内解析则 f(x)±8(x),(xg(z),(g(x)≠0)在区域D内解析, g 并且有[()±82)=r(x)±g(2) r(g()=r(2(2)+falg() )_f(a()-f()(a) gz g

（1）四则运算法则 如果f (z )和g(z )在区域D内解析,则 ( ) ( ) 并且有 ( g(z ) )在区域D内解析， g z f z f (z ) g(z ), f (z )g(z ),  0  ( ) ( )  ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z = +  =    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g (z) f z g z f z g z g z f z 2  −  =          2、求导法则

(2)复合函数求导法则 设函数ξ=f(z)在区域D内解析,函数 w=g(2)在区域G内解析,又f(D)cG(∫(D, 则复合函数=8(f(z)=h(z)在区域D内解析, 并且有: h(x)=[g(f(z)=g'(f(z)∫"(z)

（2）复合函数求导法则 在区域 内解析，又 ， 设函数 在区域 内解析，函数 w g( ) G f ( D ) G( f ( D )) f (z ) D =    = h'(z) = [g( f (z))]' = g'( f (z)) f '(z) 并且有： 则复合函数w = g( f (z )) = h(z )在区域D内解析