《高中数学教学》课程资源（PPT课件，人教A版必修第一册）4.4.3不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异

1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失。绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子。整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过。指数爆炸”模型

1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔 子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖 者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利 亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大 部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失。绝望之中， 人们从巴西引入了多发黏 液瘤病，以对付迅速繁殖 的兔子。整个20世纪中期， 澳大利亚的灭兔行动从未 停止过。 “指数爆炸”模型

以四个函数为例探究四类函数的增长差异：=2x, y= 2*,y = x2,= log2 x1、由表格数据观察四者的增长速度。2、由图象观察四者的增长速度从图可以看出：虽然它们都是增函数，但是它们的增长速度是不同的

1、由表格数据观察四者的增长速度。 y x y y x y x x 2 2 = 2 , = 2 , = , = log 2、由图象观察四者的增长速度。 从图可以看出：虽然它们都是增函数，但是它们的增 长速度是不同的。 以四个函数为例探究四类函数的增长差异：

函数y=2x.y=2xy=xy=log2x的函数值表123x0.22.60.61.4412]y= 2x680.41.22.85.2AJ= 2x28161.1491.5162.6396.063J=x?16910.040.361.966.764y= log2 x012-2.320.4851.3791.585-0.737

函数y=2x,y=2x ,y=x 2 ,y=log2x的函数值表: 0.2 0.6 1 1.4 2 2.6 3 4 0.4 1.2 2 2.8 4 5.2 6 8 1.149 1.516 2 2.639 4 6.063 8 16 0.04 0.36 1 1.96 4 6.76 9 16 -2.32 -0.737 0 0.485 1 1.379 1.585 2 y x 2 = log y = 2x x y = 2 2 y = x x

函数y=2xy=2*y=x=log2x的图象J=2xJ=2xJ=x2y=log2x----2x40

x y o 1 1 2 4 y=2 x y=x 2 y=log2x y=2x 函数y=2x,y=2x ,y=x 2 ,y=log2x的图象:

总结：一般地指数函数y=a(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似即使k值远远大于a值，指数函数V=a（a>1）虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个xo，当x>x时，y=a(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度

总结：一般地指数函数y=a x (a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似. 即使k值远远大于a值，指数函数y=a x (a>1)虽然有一段区间会小于 y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=a x (a>1)的增长速度会大大超 过y=kx(k>0)的增长速度

总结：一般地，虽然对数函数y=log。x(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在(0,+o)上都是单调递增，但它们的增长速度不同随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y=log。x(a>1)的增长速度越来越慢不论a值比k值大多少，在一定范围内，log。x可能会大于kx，但由于log。x的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个xo，当x>x,时，恒有logax<kx

总结：一般地，虽然对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在 (0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. y x a =  loga ( 1) 随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数 函数 =  log ( 1) 的增长速度越来越慢. a y x a 不论a值比k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kx，但 由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒 有 . loga x loga x loga x kx 

综上所述：(1)、在区间(0,+oo)上，y=a* (a>1),y=log(x (a>1)和y=x" (n>0)都是增函数。(2)、随着x的增大，y=a(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=x" (n>0)的增长速度。(3)、随着x的增大，y=logx(a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n>0)的增长速度。总存在一个xo，当x>x,时，就有logax<kx<xn<a

综上所述： (1)、在区间(0,+∞)上，y=a x (a>1)，y=logax (a>1)和y=x n (n>0) 都是增函数。 (2)、随着x的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会远远 大于y=x n (n>0)的增长速度。 (3)、随着x的增大，y=logax (a>1)的增长速度越来越慢，会远 远小于y=x n (n>0)的增长速度。 总存在一个x0，当x>x0时，就有: logax<kx<x n<a x

练习：1.当x越来越大时，增长速度最快的是(DA.y = 100xB.y = 100ln x.100D.y = 100·2xC.V = x

1.当x越来越大时，增长速度最快的是( ) x C y x D y A y x B y x . . 100 2 . 100 . 100ln 100 = = • = = D

2.一次实验中，x,v函数关系与下列哪类函数最接近)AC352461x10.251.260.490.761.51yB.y = a + bxA.y = kx +bbC.y = ax? + bD.y =a+x

2.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近 ( ) x 1 2 3 4 5 6 y 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 x b C y ax b D y a A y kx b B y a b x = + = + = + = + . . . . 2 A