《材料化学导论》课程授课教案（讲稿）第3讲 2.2晶体学基本概念

第3 讲82.2晶体学基本概念材料化学导论课程教案82.2晶体学基本概念【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握晶向指数和晶面指数的确定，熟练掌握晶面间距、晶向密度和晶面密度的计算，了解晶体结构的对称性。复习、巩固和深化晶体结构参数的知识。本讲课的教学采用“三维立体”教学方法和启发式教学方式，讲解基本理论，分解难点掌握好理论深度，强调基础理论的应用，注意启发学生，加强学生对基础理论知识灵活应用能力的培养；并引导学生学以致用的理念，让学生充分感受到学有所用，提高学生的学习兴趣，通过三维晶胞的分析讲解，提高学生的逻辑思维能力。【重】点】晶向指数和晶面指数的确定晶面间距、晶向密度和晶面密度的计算；晶体结构的对称性。【难点】晶面间距、晶向密度和晶面密度的计算。【本讲课程的引入】本讲课程讲授内容涉及晶体学基础知识，其中主要需要几何、物理等基本知识作为基础。【本讲课程的内容】2.2.3晶体结构参数（对上一讲进行简单复习）（三）、晶系和布拉维点阵（四）、晶向指数和晶面指数晶向（crystaldirection）：通过晶体中任意两个结点的连线方向，代表了晶体中原子列的方向。晶面(crystalplanes)：晶体结构中不在同一直线上任意三个阵点所构成的平面，代表晶体中原子面的方向。晶向指数和晶面指数，国际上统一采用米勒指数（Millerindices）来进行标定1.晶向指数的确定步骤：①设坐标：以晶胞的某一位置O为原点，过原点的晶轴为坐标轴xyz，以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。②求坐标：过原点O做一直线OP，使其平行于待定晶向。在直线OP上任取距原点O最近的一个阵点P（除原点外），确定P点的3个坐标值。③将这3个坐标值化为最小整数u，v，W，加以方括号，[uvw]即为待定晶向的晶向指数。如有负号，则将负号写到该数值的上端。晶向指数的例子：PDF檔案使用"pdfFactory"試用版本建立www.pdffactory.com

§2.2 晶体学基本概念 材料化学导论课程教案 第 3 讲 §2.2 晶体学基本概念 【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握晶向指数和晶面指数的确定，熟练掌握晶面间距、 晶向密度和晶面密度的计算，了解晶体结构的对称性。复习、巩固和深化晶体结构参数的知 识。 本讲课的教学采用“三维立体”教学方法和启发式教学方式，讲解基本理论，分解难点， 掌握好理论深度，强调基础理论的应用，注意启发学生，加强学生对基础理论知识灵活应用 能力的培养；并引导学生学以致用的理念，让学生充分感受到学有所用，提高学生的学习兴 趣，通过三维晶胞的分析讲解，提高学生的逻辑思维能力。 【重 点】晶向指数和晶面指数的确定；晶面间距、晶向密度和晶面密度的计算；晶体结 构的对称性。 【难 点】晶面间距、晶向密度和晶面密度的计算。 【本讲课程的引入】 本讲课程讲授内容涉及晶体学基础知识，其中主要需要几何、物理等基 本知识作为基础。 【本讲课程的内容】 2.2.3 晶体结构参数（对上一讲进行简单复习） （三）、晶系和布拉维点阵 （四）、晶向指数和晶面指数 晶向（crystal direction）：通过晶体中任意两个结点的连线方向，代表了晶体中原子列的 方向。 晶面(crystal planes)：晶体结构中不在同一直线上任意三个阵点所构成的平面，代表晶体 中原子面的方向。 晶向指数和晶面指数，国际上统一采用米勒指数（Miller indices）来进行标定。 1. 晶向指数的确定步骤： ① 设坐标：以晶胞的某一位置 O 为原点，过原点的晶轴为坐标轴 x,y,z，以晶胞点阵矢 量的长度作为坐标轴的长度单位。 ② 求坐标：过原点 O 做一直线 OP，使其平行于待定晶向。在直线 OP 上任取距原点 O 最近的一个阵点 P（除原点外），确定 P 点的 3 个坐标值。 ③ 将这 3 个坐标值化为最小整数 u，v，w，加以方括号，[u v w]即为待定晶向的晶向指 数。如有负号，则将负号写到该数值的上端。 晶向指数的例子： PDF 檔案使用 "pdfFactory" 試用版本建立 www.pdffactory.com

第3讲材料化学导论课程教案82.2晶体学基本概念001[100][010]2.晶面指数的确定步骤：①在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；②求得待定晶面在三个晶轴（坐标轴）上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；③取各截距的倒数；④将三倒数化为互质的整数比（没有公约数），并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为(hk1)。tz例如，截距是1/3，1/2，1，则截距倒数为3,2，，则晶面指数（321）。需注意的问题：一个晶面和它的负晶面实际上是相同的晶面，如（020)=（020），一个晶面和它的倍数是不同的，这两点不同于晶向指数。3.晶面间距(1）定义：晶面指标为(hk1）的一组平面点阵中相邻的两平面点阵面间的垂直距离，由晶面指数求面间距d(m）(210)dz10)(010)(110)d(o10)PDF案使用"pdfFactory"試用版本建立www.pdffactory.com

§2.2 晶体学基本概念 材料化学导论课程教案 第 3 讲 2．晶面指数的确定步骤： ① 在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同； ② 求得待定晶面在三个晶轴(坐标轴)上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距 为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值； ③ 取各截距的倒数； ④ 将三倒数化为互质的整数比（没有公约数），并加上圆括号，即表示该晶面的指数， 记为( h k l )。 例如，截距是 1/3，1/2，1，则截距倒数为 3,2，则晶面指数（321）。 需注意的问题： 一个晶面和它的负晶面实际上是相同的晶面，如（020）（= 020），一个晶面和它的倍数是 不同的，这两点不同于晶向指数。 3. 晶面间距 (1) 定义：晶面指标为(h k l) 的一组平面点阵中相邻的两平面点阵面间的垂直距离，由晶 面指数求面间距 ( ) hkl d 。 (110) (210) (010) d (010) (110) d (210) d [100] [010] [001] PDF 檔案使用 "pdfFactory" 試用版本建立 www.pdffactory.com

第3讲材料化学导论课程教案82.2晶体学基本概念(2）意义：每一种晶体物质都有一套特征的dhkl)，是晶体物相分析的重要依据。晶面间距公式的推导：bacosβB=dhucosα-COSYh6)+(cos'α+cos?β+cos?1正交晶系：dak1()+()立方晶系：adnklVh?+ k2+1?1六方晶系：dhd4(h +hk+k?) +("a*-4.晶向密度和晶面密度线密度（LD)=所选方向上的原子直径个数所选方向上的线长度面密度（PD)=晶面中等价原子数晶面面积举例：比较体心立方，and晶向的线密度。21LDrum" 4R"2R14R因为./3a=4R=αLDu10)V3V2aV60.306LD(10)"8RRV3/10.433所以体心立方晶体，晶向线密度最大。LDu00)4R4RRaT举例：比较面心立方（100)，（110)and（111)晶面的面密度。PDF檔案使用"pdfFactory"試用版本建立www.pdffactory.com

§2.2 晶体学基本概念 材料化学导论课程教案 第 3 讲 (2) 意义: 每一种晶体物质都有一套特征的 d(hkl)，是晶体物相分析的重要依据。 晶面间距公式的推导： 正交晶系： 立方晶系： 六方晶系： 4. 晶向密度和晶面密度 LD = 所选方向上的原子直径个数 线密度（ ） 所选方向上的线长度 D =晶面中等价原子数 面密度（P ） 晶面面积 举例：比较体心立方, and 晶向的线密度。 111 2 1 LD = = 4R 2R 【 】 110 1 LD = 2a 【 】 因为： 4 3 4 3 R a = R a Þ = 110 6 0.306 LD = 8R R 【 】 = 100 1 1 3 0.433 4 4 3 LD a R R R = = = = 所以体心立方晶体，晶向线密度最大。 举例：比较面心立方{100}, {110} and {111} 晶面的面密度。 cos cos cos hkl a b c d h k l = a = = b g 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos hkl h k l d abc a b g é ù æ ö æ ö æ ö ê ú ç ÷ + ç ÷ +ç ÷ = + + ê ú è ø è ø è ø ë û 2 2 2 1 hkl d h k l a b c = æ ö æ ö æ ö ç ÷ + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 2 2 2 hkl a d h k l = + + 2 2 2 2 2 1 4 3 hkl d h hk k l a c = æ ö + + æ ö ç ÷ + ç ÷ è ø è ø PDF 檔案使用 "pdfFactory" 試用版本建立 www.pdffactory.com

材料化学导论课程教案第3 讲82.2晶体学基本概念1+4.24-PD(100) =a.aα?1+4.12.22+4.4-PD(μ10) =2a?a.2a82.3晶体结构的对称性晶体的对称性有宏观对称性与微观对称性之分，前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的对称性，晶体外形的对称性是其微观对称性的必然反映。下面简单介绍晶体的宏观对称性，包括对称轴（旋转轴）、对称面和对称中心等，以及晶体宏观对称性与晶系的关系。2.2.1基本概念（1）对称图形：经过一种以上（包括不动）不改变图形中任意两点间距离的操作能够复原的图形。（2）对称操作：使物体相等部分重复出现的操作，如反映、旋转、反伸及其联合动作等。（3）对称要素：进行对称操作时借助的几何要素（点、线、面）。·晶体的宏观对称要素：对称面、对称轴、对称中心、反轴。2.2.2对称操作及相应的对称元素（1）旋转（rotation）---旋转轴（或对称轴）（L，或n）概念：一个晶体若绕某轴旋转角度α=360%n（α称基转角，n=1,2,3..）后使晶体位置完全复原，则此晶体有n次（重）旋转轴。如：α=180°，n=2称为2次旋转轴。基本对称操作：绕C，轴按逆时针方向旋转2元1(2）反映—---对称面（P)概念：如果通过晶体作一个平面，使晶体的各个对应点，经过这个平面反映后能够重合，如同镜子一样，那么这个平面就称为晶体的对称面，也称镜面，用符号或m表示基本对称操作：每个点与镜面垂直线的延长线的等距离点反映。（3）反演-—--对称中心（C或i）概念：如果晶体中对应于晶体中心○的每一个点都可以在中心的另一边得到相应的等同点，而且每一对点的连线均通过O点，并被其等分，则这个中心点O称为晶体的对称中心，用i表示。称这种对称动作为倒反。PDF檔案使用"pdfFactory"試用版本建立www.pdffactory.com

§2.2 晶体学基本概念 材料化学导论课程教案 第 3 讲 {100} 2 1 1 4 2 4 PD a a a + × = = × {110} 2 1 1 2 4 2 2 4 2 2 PD a a a × + × = = × §2.3 晶体结构的对称性 晶体的对称性有宏观对称性与微观对称性之分，前者指晶体的外形对称性，后者指晶体 微观结构的对称性，晶体外形的对称性是其微观对称性的必然反映。下面简单介绍晶体的宏 观对称性，包括对称轴（旋转轴）、对称面和对称中心等，以及晶体宏观对称性与晶系的关系。 2.2.1 基本概念 （1）对称图形：经过一种以上（包括不动）不改变图形中任意两点间距离的操作能够复 原的图形。 （2）对称操作：使物体相等部分重复出现的操作， 如反映、旋转、反伸及其联合动作等。 （3）对称要素：进行对称操作时借助的几何要素（点、线、面）。 ● 晶体的宏观对称要素：对称面、对称轴、对称中心、反轴。 2.2.2 对称操作及相应的对称元素 （1） 旋转（rotation）-旋转轴（或对称轴）（Ln 或 n） 概念：一个晶体若绕某轴旋转角度 α=360°/n（α 称基转角，n=1,2,3.）后使晶体位置 完全复原，则此晶体有 n 次（重）旋转轴。如：α=180°，n=2 称为 2 次旋转轴。 基本对称操作：绕Cn 轴按逆时针方向旋转2 n p （2） 反映-对称面（P） 概念：如果通过晶体作一个平面，使晶体的各个对应点，经过这个平面反映后能够重合， 如同镜子一样，那么这个平面就称为晶体的对称面，也称镜面，用符号或 m 表示。 基本对称操作：每个点与镜面垂直线的延长线的等距离点反映。 （3） 反演-对称中心（C 或 i） 概念：如果晶体中对应于晶体中心 O 的每一个点都可以在中心的另一边得到相应的等同 点，而且每一对点的连线均通过 O 点，并被其等分，则这个中心点 O 称为晶体的对称中心， 用 i 表示。称这种对称动作为倒反。 PDF 檔案使用 "pdfFactory" 試用版本建立 www.pdffactory.com

材料化学导论课程教案第3 讲82.2晶体学基本概念基本对称操作：每个点连接对称中心的延长线的等距离点反演。凭借上述三种对称元素所做的对称操作都是简单操作，如果连续做两个简单操作就成为复合操作。旋转倒反是复合操作。4.旋转倒反----旋转反伸轴L（倒转轴）概念：过晶体中心一假想直线，晶体绕此直线旋转一定角度，再对对称中心反伸，可使相等部分重复出现，以Lin表示。●对称操作是旋转+反伸的复合操作，绕n轴轴转2元／，接着按中心点反演。轴次只有 Li、L2、L3、L4、L°1)一1(2 #4)进行对称要素组合分析，得到晶体的全部组合形式，称为对称型，共32种。由于在结晶多面体中对称要素组合相交于一点，对称型又称点群。●对称型中使用的对称要素：L'、L、L、L4、L°P (P=L);C (C=LI);L/=C、L?=P、LP=L3+C、L4、L?对称型推导将组合形式分成两类：A类(27种)为高次轴，不多于一个的组合；B类(5种）为高次轴多于一个的组合这宏观对称元素与微观对称元素在三维空间的组合，称为空间群。经严格证明，晶体中可能存在有230种空间群。任何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。【本讲课程的小结】本讲课主要讨论了（1）晶向和晶面指数；（2）晶面间距；（3）晶向和晶面密度：（4）晶体结构的对称性。【本讲课程的作业】教材P44，习题19，20【本讲课程的思考题】（1）计算面心立方、体心立方结构的（100)，（110)，（111)等晶面的面密度。（2）分析晶体宏观对称要素。PDF案使用"pdfFactory"試用版本建立www.pdffactory.com

§2.2 晶体学基本概念 材料化学导论课程教案 第 3 讲 基本对称操作：每个点连接对称中心的延长线的等距离点反演。 凭借上述三种对称元素所做的对称操作都是简单操作，如果连续做两个简单操作就成为 复合操作。旋转倒反是复合操作。 4. 旋转倒反-旋转反伸轴 Li n（倒转轴） 概念：过晶体中心一假想直线，晶体绕此直线旋转一定角度，再对对称中心反伸，可使 相等部分重复出现，以 Lin 表示。 ● 对称操作是旋转＋反伸的复合操作，绕 n 轴轴转2 n p ，接着按中心点反演。 ● 轴次只有 Li 1、Li 2、Li 3、Li 4、Li 6。 ● 进行对称要素组合分析，得到晶体的全部组合形式，称为对称型，共 32 种。由于在结晶 多面体中对称要素组合相交于一点，对称型又称点群。 ● 对称型中使用的对称要素：L 1、L 2、L 3、L 4、L 6 ； P（P = Li 2）； C（C = Li 1）； Li 1 = C、Li 2 = P、Li 3 = L3 十 C、Li 4、Li 6 ● 对称型推导将组合形式分成两类：A 类(27 种)为高次轴，不多于一个的组合；B 类(5 种) 为高次轴多于一个的组合这 宏观对称元素与微观对称元素在三维空间的组合，称为空间群。经严格证明，晶体中可 能存在有 230 种空间群。任何一种晶体的微观结构属于且只属于 230 种空间群之一。 【本讲课程的小结】 本讲课主要讨论了（1）晶向和晶面指数；（2）晶面间距；（3）晶向和 晶面密度；（4）晶体结构的对称性。 【本讲课程的作业】 教材 P44，习题 19，20 【本讲课程的思考题】（1）计算面心立方、体心立方结构的(100)，(110)，(111)等晶面的面密 度。 （2）分析晶体宏观对称要素。 PDF 檔案使用 "pdfFactory" 試用版本建立 www.pdffactory.com