西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 线性方程组 3.1 消元法

西安毛子科技大枣XIDIAN UNIVERSITY3.1消元法一、一般线性方程组的基本概念二、消元法解一般线性方程组三、齐次线性方程组

一、一般线性方程组的基本概念 二、消元法解一般线性方程组 三、齐次线性方程组

西安毛子科技大枣-XIDIAN UNIVERSITY一、一般线性方程组的基本概念1．一般线性方程组是指形式为auxi +ai2X +.. +ainxn =ba21X +a22X2 +... +a2nXn = b(1)asixi +as2x2+...+asnx, =b的方程组，其中xj,x2,,x,代表n个未知量的系数，s是方程的个数；ai;(i=1,2,,s,j=1,2,",n)称为方程组的系数；b.(i=1,2,,s）称为常数项

1．一般线性方程组是指形式为 (1) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =  + + + =   + + + =  是方程的个数 ; ( 1,2, , , 1,2, , ) ij s a i s j n = = 1 2 , , , n 的方程组，其中 x x x 代表 n 个未知量的系数， 称为方程组的系数；b i s i ( 1,2, , ) = 称为常数项。 一、一般线性方程组的基本概念

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY2．方程组的解设k,k,,,k,是n个数，如果x,x,,x,分别用kj,k2,,k,代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式则称有序数组（kj,kz,,kn)是（1）的一个解(1)的解的全体所成集合称为它的解集合.解集合是空集时就称方程组（1）无解3.同解方程组如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的

2．方程组的解 设 k k k 1 2 , , , n 是 n 个数，如果 x x x 1 2 , , , n 分别用 1 2 , , , n k k k 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 1 2 是（1）的一个解. ( , , , ) n k k k (1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解． 3．同解方程组 如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的．

西安毛子科技大枣一XIDIAN UNIVERSITY4.方程组的系数矩阵与增广矩阵ann.. aina An.. aan矩阵 A=‘(ass2. asn)称为方程组（1）的系数矩阵；aua12b.a21 a22:a21A=而矩阵b.as1a..as2..称为方程组（1）的增广矩阵

4．方程组的系数矩阵与增广矩阵 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a     =       称为方程组（1）的系数矩阵 ; 而矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b     =       称为方程组（1）的增广矩阵．

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY二、消元法解一般线性方程组1．引例 解线性方程组[ 2x - X2 -3x, = 1x1-2x2-2x3=1[3x +2x, -5x = 0解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得Xi- X2 -X = 22x -x2 -3x3 = 1[3xi + 2x2 - 5x = 0第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程的3倍，得

1．引例 解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得 第二个方程减去第一个方程的2倍， 二、消元法解一般线性方程组 解线性方程组 1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 3 2 5 0 x x x x x x x x x  − − =   − − =  + − =  1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 1 3 2 5 0 x x x x x x x x x  − − =   − − =  + − =  第三个方程减去第一个方程的3倍，得

西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITYXi- X2 - X = 2X2 - Xg = -35x, - 2xg = -6第三个方程减去第二个方程的5倍，得Xi - X2 - Xg = 2X2 - Xg = -33x, =9第三个方程乘以，得3X -X, - Xg = 2X - Xg = -3X=3

第三个方程减去第二个方程的5倍，得 1 2 3 2 3 2 3 2 3 5 2 6 x x x x x x x  − − =   − = −  − = −  1 2 3 2 3 3 2 3 3 9 x x x x x x  − − =   − = −  =  第三个方程乘以 ，得 1 3 1 2 3 2 3 3 2 3 3 x x x x x x  − − =   − = −  = 

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY第一个方程加上第三个方程；第二个方程加上第三个方程，得Xi -x, = 5x, =0X=3这样便求得原方程组的解为x, =53 x = 0(x=3或(5,0,3)

1 2 2 3 5 0 3 x x x x  − =   =  =  第一个方程加上第三个方程； 第二个方程加上第三个方程，得 这样便求得原方程组的解为 1 2 3 5 0 3 x x x  =   =  =  或 (5,0,3)

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2．线性方程组的初等变换定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换①用一个非零的数乘某一个方程：②将一个方程的倍数加到另一个方程上：③交换两个方程的位置，性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解

定义 线性方程组的初等变换是指下列三种变换 ① 用一个非零的数乘某一个方程； ② 将一个方程的倍数加到另一个方程上； ③ 交换两个方程的位置． 性质 线性方程组经初等变换后，得到的线性方程 组与原线性方程组同解． 2．线性方程组的初等变换

西安毛子科技大枣XIDIANUNIVERSIT如对方程组（1）作第二种初等变换：aiixi +ai2x, +.+ainxn =ba21xj +a22x, + ... +a2nxn = b2(1)asix,+as2x,+...+asnxn=b,简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1'）：(ai1 + ka21)xi +(a12 + ka22)x2 +... + (ain + ka2n)xn =b, +kb)a2iX +a22X2+...+a2nXn=b2(1)asixi +as2x2 +...+asnxn =b,设（C,C2,,Cn是方程组（1）的任一解，则

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =  + + + =   + + + =  11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n s s sn n s a ka x a ka x a ka x b kb a x a x a x b a x a x a x b  + + + + + + = +  + + + =   + + + =  如对方程组（1）作第二种初等变换: 简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）． （1'） 设 ( , , , ) c c c 1 2 n 是方程组（1）的任一解，则

西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITYaci +ai2C2 +...+aincn = ba21Ci +a2C +...+a2ncn = b,LasiCi+as2C2+...+asncn=b于是有(ai1 + ka2i)C + (a12 + ka22)c2 + ... +(ain + ka2n)c,=(aiici + ai2C2 + ... +aincn)+ k(a2iC +a22C2 + ... + a2ncn)= b, + kb,所以（C,C2,",c,也是方程组（1'）的解同理可证的（1'）任一解也是（1）的解故方程组（1·）与（1）是同解的

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n s s sn n s a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c b  + + + =  + + + =   + + + =  11 21 1 12 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n n a ka c a ka c a ka c + + + + + + 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 ( ) ( ) n n n n = + + + + + + + a c a c a c k a c a c a c 1 2 = + b kb 所以 也是方程组（1'）的解. 1 2 ( , , , ) n c c c 于是有 同理可证的（1'）任一解也是（1）的解. 故方程组（1 ' ）与（1）是同解的