西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 矩阵 4.4 矩阵的逆

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY$4.4矩阵的逆可逆矩阵的概念可逆矩阵的判定、求法三、逆矩阵的运算规律四、矩阵方程

一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵注：①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作A-l.可逆矩阵A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵，且2)(A")"= A.③单位矩阵E可逆，且（E)=E

一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ( ) 1 1 A A. − − = ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 1 A . − ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ( ) 1 E E . − = ② 可逆矩阵A的逆矩阵 也是可逆矩阵，且 1 A −

西要毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法1、伴随矩阵定义设A,是矩阵A=(a,）nxn中元素a,的代数余子式，矩阵AuA14Ai2A22AA*=-Ain Azn ...Auan称为A的伴随矩阵性质： AA=A"A=|AE

二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 1、伴随矩阵 称为A的伴随矩阵. 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A     =       性质： * * AA A A A E = = 余子式，矩阵 设 Aij 是矩阵 A a = ( )ij n n 中元素 aij 的代数

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY证：由行列式按一行（列）展开公式Id.k=iakAii +ak2A2 +..+aknAin-0,k±id =|Ald.l=jauA, +aA, +..+anAn10,[+j立即可得Aauaa12A21YAr2Aa21a22a2nAA*AA.Aanan2annd000d0.= dE.同理，A*A= dE00d

证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 11 12 1 11 21 1 * 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A       =          d A = . 1 1 2 2  , 0, k i k i kn in d k i a A a A a A k i = + + + =  1 1 2 2  , 0, l j l j nl nj d l j a A a A a A l j = + + + =  0 0 0 0 . 0 0 d d dE d     = =       同理, * A A dE =

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2、定理：矩阵A可逆当且仅当|A+0，（即AA*A-1非退化的），且A证：若「A±0，由AA*=A"A=AEA*A*=E得A[AA*所以，A可逆，且Al反过来，若A可逆，则有 AA-1=E,两边取行列式，得|AA-=|E|=1．：[A|0

* 1 . A A A − 非退化的），且 = 证：若 A  0, 由 * * AA A A A E = = 所以，A可逆，且 * 1 . A A A − = 两边取行列式，得 1 A A E 1. − = =   A 0. 2、定理：矩阵A可逆当且仅当 A  0, （即A 得 * * A A A A E A A = = 反过来，若A可逆，则有 1 AA E, − =

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY3、推论：设A、B为n级方阵，若AB=E,则A、B皆为可逆矩阵，且 A-1=B，B-1= A.证： ： AB=E: [AB|=[A|B|=[E|=1从而 [A±0,B±0.由定理知，A、B皆为可逆矩阵再由A-(AB) = A-'E,(AB)B-1 = EB-1即有，A-1=B，B-1=A

则A、B皆为可逆矩阵，且 1 1 A B B A , . − − = = 证： AB E =  = = = AB A B E 1 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 从而 A B   0, 0. 1 1 A AB A E ( ) , − − 再由 = 即有， 1 1 A B B A , . − − = = 1 1 ( ) , AB B EB − − = 3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 AB E=

西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY例1判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆1232211) A=343aa,2) A=(n)

例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆. 1 2 3 1) 2 2 1 3 4 3 A   =       1 2) 2 n a a A a     =      

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY12322 1= 2,解：1）.343再由A可逆.A = 2, A21 =6, A31 = -4,A12 = -3, A22 = -6, A32 = 5,A13 = 2, A23 = 2, A33 = -2.6-42A*有 A--3-65A222 2

解：1） 1 2 3 2 2 1 2, 3 4 3 = ∴ A可逆. 12 22 32 A A A = − = − = 3, 6, 5, 11 21 31 A A A = = = − 2, 6, 4, 13 23 33 A A A = = = − 2, 2, 2. 再由 * 1 2 6 4 1 3 6 5 . 2 222 A A A −   − = = − −       有

西要毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY2) : [A|=a,a,..an 当 a, ≠0 (i=1,2,,n)时，A可逆且由于一aa.Ea心

1 2 2) , A a a a = n ∴ 当 0 ( 1,2, , ) 时， A可逆 . i a i n  = 1 1 1 1 2 2 1 n n a a a a a a − − −                 且由于 1 1 1 1 2 1 . n a a A a − − − −      =       1 1 1 E     = =      

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY三、逆矩阵的运算规律()若A可逆,则A-I亦可逆,且(A-)=A(②)若A可逆,数0,则A可逆,且(aA)-(3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)"= B-1A-1推广(A A,A)"=AA"A,!

三、逆矩阵的运算规律 ( ) 2 若A可逆,数  0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( ) = −1 A B −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A   (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − ( ) . 1 2 1 2 − − 推广 A1 A Am = A −1 Am −1 A1 B