西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 线性方程组 3.5 线性方程组有解判别定理

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY$3.5线性方程组有解判别定理

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYanx, +a2x2+...+anx,=ba21Xj + a22X2 + ... +a2nx=b,(1)设线性方程组asixi +asx2 +... +asnx,=b,其系数矩阵A和增广矩阵A分别为anla2aila1216a21a22a21a22a2nVA=b.as1as2a.as1asuVsn

设线性方程组 (1) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =  + + + =   + + + =  11 12 1 21 22 2 1 2 , n n s s sn a a a a a a A a a a     =       11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b     =       其系数矩阵A和增广矩阵 A 分别为

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY引入向量bb:aua12anananap2B..:bnas1,aas2sn于是（1）可表为xα+x,α+.+x,α=β.(1)有解台β可由向量组α,α2,,αn线性表出

引入向量 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , , n n n s s n sn a a b a a a a b a a b a                     = = = =                         于是（1）可表为 1 1 2 2 n n x x x     + = + +   (1) 有解  可由向量组    1 2 , , , n 线性表出．

西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY定理线性方程组(1)有解的充分必要条件是(1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即R(A) = R(A).证：若(1)有解，则β可由α,α2,,αn线性表出，于是向量组α,α2,"",α,与α,α2,",α,β等价，所以 R(A)= R(A)

定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件是 (1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即 R A R A ( ) ( ). = 证：若(1)有解，则  可由    1 2 , , , n 线性表出， 所以 R A R A ( ) ( ). = 于是向量组    1 2 , , , n 与     1 2 , , , , n 等价

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY反过来，若 R(A)=R(A)，则rank[aj,α2,".,a,} = rank(a,,α2,..,an, β)设α,α,",α，α",α的一个极大无关组，则α,,α,,"",α，也,α2",αn,β的极大无关组,.向量组α,α2,..,αn与α,α,,,αn,β等价，从而β可由向量组α,αz,…,αn线性表出，所以，方程组(1)有解

反过来，若 R A R A ( ) ( ) = ，则 1 2 1 2 { , , , } { , , , , } n n rank rank        = 设    i i i 1 2 , , , r 为    1 2 , , , n 的一个极大无关组， 则    i i i 1 2 , , , r 也为     1 2 , , , , n 的极大无关组， ∴向量组    1 2 , , , n 与     1 2 , , , , n 等价， 从而  可由向量组    1 2 , , , n 线性表出， 所以，方程组(1)有解．

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY总之, 线性方程组(1)有解 台 R(A)= R(A),并且，若 R(A)= R(则()有唯一解;若 R(A)=R(则(1)有无穷多个解附±0,若R(A)= R(A)= r,且 r级子式arr则方程组（1）与下面的方程组是同解的ax, +a2X,+... +ainXn = b,a21 + a22X2 +...+a2nxn=b,[arixi +arX, +...+amxn=b

总之，线性方程组(1)有解  = R A R A ( ) ( ). 若 R A R A n ( ) ( ) =  则(1)有无穷多个解. 并且，若 R A R A n ( ) ( ) , = = 则(1)有唯一解； 附 则方程组(1)与下面的方程组是同解的. 若 R A R A r ( ) ( ) , = = 且 r 级子式 11 1 1 0, r r rr a a a a  11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n r r rn n r a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =  + + + =   + + + = 

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1讨论线性方程组axi +x2 + X = 4Xi + bx, + x, = 3[Xi +2bx, +X,= 4何时有解？何时无解？在有解的时候求出它的一般解

例1 讨论线性方程组 何时有解？何时无解？ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 3 2 4 ax x x x bx x x bx x  + + =   + + =  + + =  在有解的时候求出它的一般解．

西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY例2讨论线性方程组是否有解？Xi +X2 +X = 1ax, + bx, + cxg = da,b,c,d各不相同。a'x +b'x, +c'x, = d?a'x, +b'x, +c'x = d?

例2 讨论线性方程组是否有解？ 各不相同． 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 3 1 2 3 x x x 1 ax bx cx d a x b x c x d a x b x c x d  + + =  + + =  + + =  + + =  a b c d , ,