西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）18 广义逆的应用

、1931 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月24日星期三

2014年12月24日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 冬第17讲Penrose广义逆与Moore)广义逆 ·{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 ·关于A+ ·广义逆的计算 o由HIermite标准形求{I}-逆 ⑩由满秩分解求广义逆 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第17讲 Penrose广义逆与Moore广义逆  {1}-逆与{1，2，3}-逆、 {1，2，4}-逆  关于A+  广义逆的计算 由Hermite标准形求{1}-逆 由满秩分解求广义逆

投影算子与投影矩阵 投影 ·设L,M为C"的子空间并构成直和L+M=L⊕M=Cm ⑩即Vx∈C",唯一的y∈L,z∈M使x=y+z O称y为x沿着M到L的投影 必定义 ■将任意x∈Cm变为其沿着M到L的投影的变换 称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M D即PX=y∈L ⑩投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵，仍记为 PLM lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 ●●

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 投影算子与投影矩阵 投影  设L，M为Cn的子空间并构成直和 即 称 y为x沿着M到L的投影 定义  将任意 x∈Cn 变为其沿着M到L的投影的变换 称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M 即 投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵,仍记为 PL,M n LML MC + =⊕ =

投影算子与投影矩阵 冬引理 ·设n阶方阵E为幂等矩阵，则N(E)=R①-E) 必定理 ·阶方阵P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等 矩阵 冬投影矩阵的构造 ·设已知C的子空间L、M构成直和 PLM=[X O][X Y] lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 投影算子与投影矩阵 引理  设n阶方阵E为幂等矩阵，则N(E)=R(I-E) 定理  n阶方阵P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等 矩阵 投影矩阵的构造  设已知Cn的子空间L、M构成直和 [ ][ ] 1 P X O X Y L,M − =

正交投影算子与正交投影矩阵 正交投影算子与正交投影矩阵 ·正交补空间 ⑩L为C"的子空间，其正交补空间为 L={x(x,y)=0,xeC,y∈L ■定义 ⑩设L是C的子空间，则称沿着L1到L的投影算子为 正交投影算子，简记为P D正交投影算子的矩阵称为正交投影矩阵，仍记为P lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 正交投影算子与正交投影矩阵 正交投影算子与正交投影矩阵  正交补空间 L为Cn的子空间，其正交补空间为  定义 设L是Cn的子空间，则称沿着L⊥到L的投影算子为 正交投影算子，简记为PL 正交投影算子的矩阵称为正交投影矩阵，仍记为PL { } n L x x y 0,x C , y L ⊥ = =∈ ∈ （ ， ）

正交投影算子与正交投影矩阵 冬引理() ·对n阶方阵A,Hx∈C"均有xHAx=0则A=0 冬引理(2) ·N(PH)=RL(P) 必充要条件 ■阶方阵P为正交投影矩阵充要条件是P为幂等 厄米矩阵 正交投影矩阵的构造P,=X(XHX)XH lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 正交投影算子与正交投影矩阵 引理(1)  对n阶方阵A , 引理(2)  N ( PH ) = R⊥( P ) 充要条件  n阶方阵P为正交投影矩阵充要条件是P为幂等 厄米矩阵 正交投影矩阵的构造 H 1H P X(X X) X L − =

投影矩阵与广义逆矩阵 Moore广义逆定义 ·设A∈Cmm,X∈Cx且AX=PR(A>XA=PR) o则X为A的Moore)广义逆矩阵 Moore)广义逆于Penrose广义逆 ·Moore)广义逆矩阵正是A+ lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 投影矩阵与广义逆矩阵 Moore广义逆定义  设 则X为A的Moore广义逆矩阵 Moore广义逆于Penrose广义逆  Moore广义逆矩阵正是A+ mn nm A C ,X C AX P XA P R A R X × × ∈∈ = = 且 （ ）， （ ）

第18讲广义逆的应用 矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 必极小范数解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 第18讲 广义逆的应用 矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 极小范数解

矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 冬定理1 ·矩阵方程AXB=D相容（有解）的充要条件： AADDBDB=D ⑩在相容情况下矩阵方程的通解为： {ADDB四+Y-AAYBBOY为阶数合适的任意矩阵 g证明] ©相容性条件的充分性 AADBB=D X=ADB四 ©相容性条件的必要性 D=AXB=AAAXBBOB=AADB(B lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 定理1  矩阵方程AXB=D相容（有解）的充要条件： 在相容情况下矩阵方程的通解为： [证明] 相容性条件的充分性 相容性条件的必要性 (1) (1) AA DB B D= { } (1) (1) (1) (1) A DB Y A AYBB | Y + − 为阶数合适的任意矩阵 (1) (1) AA DB B D= (1) (1) X A DB = (1) (1) (1) (1) D AXB AA AXBB B AA DB B = = =

矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 冬通解证明 ■解集合中的任何元素均为方程的解 ,·方程的任何解均可由集合中的元素表现出来 X=A(DB D+Y-ADAYBB四 AXB=D+AYB-AYB=D 集合中的元素为方程的解 OAXB=D X=A(DDB()+X-A(DDB(1)=A(DB()+X-A(DAXBB(1) 对应于集合中Y=X的情况 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 通解证明  解集合中的任何元素均为方程的解  方程的任何解均可由集合中的元素表现出来   (1) (1) (1) (1) X A DB Y A AYBB = +− AXB D AYB AYB D =+ − = AXB D= (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) X A DB X A DB A DB X A AXBB = +− = +−