西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2017）第24讲 初等函数映射

SIT 复变函数与场论 主讲：徐乐

复变函数与场论 主讲：徐乐

Review 解析函数导数： 参数曲线C[=z④，a≤≤b: Argz’(t就是处C的切线正向与轴正向间的 (b) (to) 夹角： (a) 解析函数w=孔)： L,f‘(k00的辐角Arg’(z是曲线C经过w=映 Z)≡(W) 射后在处的转动角—转动角不变性； Arg w'(to)-Arg z'(to)=Argf'(zo) 2.解析函数映射保持两曲线间夹角与方向不变一 一保角性 [Arg wI'(t1)-Arg w2'(t2)]= [Arg zI'(t1)-Arg 22'(12)] 3.f‘是经过映射后通过点 的曲线C在处的伸缩率 一伸缩率不变性 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 2 O Review  解析函数导数：  参数曲线C [z=z(t), atb ]： Arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的 夹角;  解析函数w=f(z)： 1.f ‘(z0)0的辐角Arg f ’(z0)是曲线C经过w=f(z)映 射后在z 0处的转动角——转动角不变性； Arg w '(t0) - Arg z '(t0) = Arg f '(z0) 2.解析函数映射保持两曲线间夹角与方向不变— —保角性 [Arg w1 '(t1) -Arg w2 '(t2)] = [Arg z1 '(t1) - Arg z2 '(t2)] 3.|f ‘(z)|是经过映射后通过点 z0的曲线C在z0处的伸缩率 ——伸缩率不变性. z(a) z(b) z(t0) z '(t0) z0 z C  w0 (Z)≡(W) w y O (z) z0  C1 C2 x v O u (w) w0 1 2

Review 冬共形映射： =fz在邻域内一一在Z,具有保角性和伸缩率不变性，则映射 在2共形，或称w=☑在是共形映射； 函数w=f☑在Z解析.且f‘亿0.则映射w=f☑在2共形，且Arg f’(亿表示这个映射在2的转动角.f‘亿表示伸缩率 共形映射几何意义 f'(z) w=ww-w,日f'(5)1ò 伸缩率不变性 保角性 相似性 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 3  O x y (z) z0 C1 C2 O u v(w) w0 1 2 O x y O u (z) v(w) z0 w0  C1 C2 1 2  共形映射：  w=f(z)在z0邻域内一一, 在z0具有保角性和伸缩率不变性, 则映射 在z0共形, 或称w=f(z)在z0是共形映射.  函数w=f(z)在z0解析, 且f ‘(z0) ≠0, 则映射w = f (z)在z0共形, 且Arg f ’(z0)表示这个映射在z0的转动角, |f ‘(z0)|表示伸缩率.  共形映射几何意义 Review 0 0 0 0 | | | ( ) | | || ( ) | | | w w fz ww fz z z         伸缩率不变性 保角性 相似性

Review 冬分式线形映射 az+b a b ·逆射仍为分式线形映射； w= cz+d cd →ad-bct0 ·复合仍为分式线形映射； ■三类特殊分式线形映射： 平移 i )w=z+b 旋转+伸缩 ii )w=az 反演变换 iii)w=1/z ·扩充复平面上一一对应，且具有以下性质 D具有保角性； D具有保圆性； D具有保对称性； lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 4 Review  分式线形映射  逆射仍为分式线形映射；  复合仍为分式线形映射；  三类特殊分式线形映射：  扩充复平面上一一对应，且具有以下性质 具有保角性； 具有保圆性； 具有保对称性； 0 az b a b w ad bc cz d c d             i ) ii ) iii) 1/ w zb w az w z     平移 旋转+伸缩 反演变换

Review 冬唯一决定分式线形映射的条件 w-w.w3-w2=2-.3-22 w-w2%3-"2-2223-21 x--- z+b Z平面 W= cz+d W平面 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 5

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 5 Review  唯一决定分式线形映射的条件 Z平面 W平面 z b w cz+d   1 1 3 2 32 2 3 1 23 1 ww zz ww zz ww w w zz z z         

Review W2 W 1W3 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数D

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 6 Review w1 w2 w3 C’ w3 w2 w1 C’ w1 w2 w3 z1 z2 z z3 w1 w2 w3 w

Review (①)二圆周上没有点映射成无穷远点 时，这二圆周的弧所围成的区域 映射成二圆弧所围成的区域： (I)二圆周上仅有一个点映射成无 穷远点时，这二圆周的弧所围成 的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域： (III)二圆周一个交点映射成无穷远 点时，这二圆周的弧所围成的区 域映射成角形区域. lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 7 Review (I)二圆周上没有点映射成无穷远点 时, 这二圆周的弧所围成的区域 映射成二圆弧所围成的区域; (II)二圆周上仅有一个点映射成无 穷远点时, 这二圆周的弧所围成 的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域; (III)二圆周一个交点映射成无穷远 点时, 这二圆周的弧所围成的区 域映射成角形区域

Review TypeI:上半平面映射成为单位圆 W=f (z) w10 Z1=入 W2=∞ Z2=入 z=九→1w=0 w=(二k z=九→> W=0 z∈Re→Iwl→lk=1→k=e9 w=(后re 入任意，且Im(入)>0 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 8

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 8 Review  TypeI ：上半平面映射成为单位圆 W=f（z） Z1=λ Z2=λ w1=0 w2=∞ z 0 w z w         ( ) z w k z      z Re  |w|=1 i |k|=1 k=e   ( ) z i w e z        λ任意，且Im(λ)>0

Review 方法二采用唯一决定分式线形映射的条件求解1 w-w.w3-w=2-1.3-2 W-w2W3-9 2-2223-1 31=-1 "=1 p=-i(2- 2=0 w2=i Z+i 33-1 w3=-1 w2=i Z2=0 2●b- w3=-1 w1=1 Z1=1 Z3=1 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 9

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 9 Review  [方法二 采用唯一决定分式线形映射的条件求解] 1 1 3 2 32 2 3 1 23 1 ww zz ww zz ww w w zz z z          1 2 3 1 0 1 z z z     1 2 3 1 -1 w w w i    Z1=-1 Z2=0 w1=1 w2=i Z3=1 w3=-1 ( ) z i w i z i    

Review TypeIⅡ：单位圆映射成为单位圆 W=f (z) W1=0 w2=00 Z1=a Z2=1/a 1w=0 = 2-)k z=0 → z-1/a 00 z=1/a 1W=00 -&k 1-@z w=(2- |z=1→ W=1i 1-@z k=1→k'=eo a任意，且a<1 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 。。。··。。10

lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 10 Review  TypeII ：单位圆映射成为单位圆 W=f（z） Z2=1/α w1=0 w2=∞ 0 1/ z w z w         ( ) 1/ () 1 z w k z z k z            | | z   1 |w|=1 i |k |=1 k =e     ( ) 1z i w e z       α任意，且|α|<1 Z1=α