西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2017）第19讲 洛朗级数

场论与复变函数 主讲：徐乐

场论与复变函数 主讲：徐乐

Review 幂级数收敛半径的求法 ·比值法 lim /1 =入≠0咖 R →0 ·根植法 limc=u≠0m今 R= 幂级数的运算性质 ·代数运算性质 ·复合运算性质 ·分析运算性质 o1)它的和函数f(z)是收敛圆：z<R内的解析函数 D2)f(z)在收敛圆内导数可将其幂级数逐项求导得到 而3)f()在收敛圆内可以逐项积分 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 2 Review 幂级数收敛半径的求法  比值法  根植法 幂级数的运算性质  代数运算性质  复合运算性质  分析运算性质 1）它的和函数 f (z)是收敛圆：|z-a|<R内的解析函数 2） f (z)在收敛圆内导数可将其幂级数逐项求导得到 3） f (z)在收敛圆内可以逐项积分 1 lim 0 n n n c c      1 R   lim | | 0 n n n c     1 R  

Review 将函数fz)展开成一般项为cn(z-"幂级数的步骤： ·Step1:将函数fz)作代数变形，使之分母出现z-; 。Step2:再将其按照展开式为已知函数 2”05k 的形式写成 i-)"( n 。Step3:将 展开式中的换成g()即可。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 3 Review 将函数f(z)展开成一般项为cn(z-a)n幂级数的步骤:  Step1：将函数f(z)作代数变形，使之分母出现z-a；  Step2：再将其按照展开式为已知函数 的形式写成  Step3：将 展开式中的 ζ换成 g (z)即可。 0 1 , (| | 1) 1 n n         0 1 [ ( )] , (| ( ) | 1) 1 () n n gz gz g z      1 1

Review 冬泰勒展开式 )- f(o(z-z) n! ■右端的级数称为fz)在z的泰勒级数 泰勒展开定理 ·设函数f)在区域D内解析，z为D内的一点，d为z到D 的边界上各点的最短距离，则当z-z长时，下式成立 fe)=∑c.(e-) n=0 f() n! lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 4 Review 泰勒展开式  右端的级数称为f(z)在z0的泰勒级数 泰勒展开定理  设函数f(z)在区域D内解析，z0为D内的一点，d为z0到D 的边界上各点的最短距离，则当|z- z0 |<d时，下式成立 ( ) 0 0 0 ( ) () ( ) ! n n n f z f z zz n     0 0 () ( )n n n f z cz z      ( ) 0 ( ) ! n n f z c n 

Review 泰勒级数求解方法 ·直接法 f((o) C,= n! ·间接展开法 ⑩利用已知函数的幂级数展开式以及幂级数运算性质和分析性质 ， 依据唯一性确定泰勒展开 ⑩变量代换法 D逐项积分法 D逐项求导法 ·待定系数法 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 5 Review 泰勒级数求解方法  直接法  间接展开法 利用已知函数的幂级数展开式以及幂级数运算性质和分析性质 ，依据唯一性确定泰勒展开 变量代换法 逐项积分法 逐项求导法  待定系数法 ( ) 0 ( ) ! n n f z c n 

第19讲洛朗级数 洛朗级数 洛朗级数的应用 ·洛朗级数与泰勒级数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 6 第19讲 洛朗级数 洛朗级数 洛朗级数的应用 洛朗级数与泰勒级数

洛朗级数 冬在以z为圆心的圆域内解析的函数fa可以在圆域内 展开成(z-z)的幂级数 若fz在z不解析，如何将函数展开成(a-z)的级数？ ·研究解析函数在孤立奇点领域内的性质 ·是定义留数以及计算留数的必要基础 ·在许多应用中，往往需要将在z不解析，但在z去心领域 内解析的函数展开成级数 洛朗级数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 7 洛朗级数 在以z0为圆心的圆域内解析的函数f(z)可以在圆域内 展开成(z-z0)的幂级数 若f(z)在z0不解析，如何将函数展开成(z-z0)的级数？  研究解析函数在孤立奇点领域内的性质  是定义留数以及计算留数的必要基础  在许多应用中，往往需要将在z0不解析，但在z0去心领域 内解析的函数展开成级数 洛朗级数

洛朗级数 B 考察级数 2c-2c ·该级数当且仅当A、B均收敛时才收敛 ·A为常见的幂级数 o收敛域为圆域，设其收敛半径为R, ■B为负幂项级数 0令=x,则级数B可改写成为级数C: c5 =1 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 8 洛朗级数 考察级数  该级数当且仅当A、B均收敛时才收敛  A为常见的幂级数 收敛域为圆域，设其收敛半径为R2  B为负幂项级数 令ζ= z-1，则级数B可改写成为级数C： 1 01 0 n nn nn n nn n n n n nn n cz cz cz c z cz                  B A 1 n n n c     

洛朗级数 n=1 ·C为常见的正幂项级数 D收敛域为圆域，设其收敛半径为R,即IR B收敛 A收敛 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 9 洛朗级数  C为常见的正幂项级数 收敛域为圆域，设其收敛半径为R，即|ζ| R1 |z |< R2 A收敛 B收敛

洛朗级数 立c=c+ n=0 B B 显然，级数的收敛性由R和R,决定： ·R>R2:级数处处发散 ·R,<R2:级数在圆环域R1<a-z<R2收敛 ⑩级数在圆环域外发散 D级数在圆环域边界上敛散性不定 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10 洛朗级数 显然，级数的收敛性由R1和R2决定：  R1 > R2 ：级数处处发散  R1 < R2 ：级数在圆环域 R1 < |z-z0|<R2收敛 级数在圆环域外发散 级数在圆环域边界上敛散性不定 B R1 A R2 1 0 n nn n nn nn n cz c z cz             B A