西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2011）第11讲 初等函数

西安电子科枝大学 电子工程学院《A School of Electronic Engineering.Xidian University http://see .xidian.edu.cn n.edu.ch 场论与复变函数 xuamail.x 主讲：徐乐 2011年11月6日星期日

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Review ■解析函数的充要条件 ■函数f回=(x,)+i,)在区域D内 ■u(x,y)和v(x,y)在区域D可微 an.edu.cx ■且在区域D满足柯西黎曼方程 ·[推论1]若fE)在区域D处处为零，则fP)在D内为常数 ·[推论2]f回=(x)计1x,)为解析函数，且f0, 则曲线族uGc,x,以=c必互相正交，其中 C,c2为常数 lexu@mail.xidian.edu.cn

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解析函数的充要条件 可导复变函数在一点的导数公式 Ou Ov cidia f(z)= Ov Ou f()= +1 ou ov ou ox ey oy Ox Ov.Ov f'(z)= f'(z)= 一十1 ax ioy lexu@mail.xidian.edu.cn

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平面场的复势 ■稳定平面向量场 A=4,心+1x, A=()=1x,+,y lexu@mail.xidian.edu.cn

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平面场的复势 势函数 v=v(.Vx+v(T,vv f=y 流函数 平面流速场的复势 agp(x,y】 8v(x,y) Ov, Ox Ox Ov, rot拉= divv= + =0 Ox Oy o(x,y) ayW(x,】 三Vx d Cv E=EX+EY E=-if"】 静电场的复势 力函数 势函数 ou E Ov d div a腿4， ou =0 Ox Oy Oy E,= Ov E, OE=0 Oy ax lexu@mail.xidian.edu.cn

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xidian.edu.cn 初等函数 指数函数 对数函数 乘幂与幂函数 三角函数和双曲函数 反三角函数和反双曲函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 6

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初等函数 ■初等函数 edu.Cx ·在微积分的发展史上，有一些函数很早就被人们所认 识并且进行了深入的研究，这些函数统称为初等函数 ·最基础的初等函数称为基本初等函数 ■常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数 ·凡是由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复 合步骤得到的，)并能用一个解析式表示的函数统称为 初等函数。 复变函数初等函数是实变函数初等函数的推广 lexu@mail.xidian.edu.cn

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指数函数 在实变函数中，指数函数对任何实数x 都可导，且(ey'=ex 在复平面中定义函数②)， 使得 .f(z)在复平面内处处解析 ii.I(a)-f(2) ii.Im(z）=0时，f(z)-e,其中x=Re(z) 验证函数f(e)尸e'(cosy+isiny） lexu@mail.xidian.edu.cn

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指数函数 指数函数 edu.Cx ·指数函数记作expz=er(cosy tisiny) 指数函数的等价定义了 ■expz =e ■Arg(expz)=y+2kt ·Note1:exp(z)≠0 ·Note2: exp(z)exp(z2)-exp(z1z2) lexu@mail.xidian.edu.cn

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指数函数 ■Note3:为方便，令e=expz e仅为表示指数函数的符号，无幂的意义 ■Note4:x=0时，ew=(cosy +isiny) ■Note5:周期性：et2km=e 周期为2πi 复变函数的指数函数具有周期性，而时变函数 ex没有周期性 lexu@mail.xidian.edu.cn 10

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