西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2014）第8讲 复数概论

场论与复变函数 复变函数篇 主讲教师：徐乐 2014年9月24日星期三

场论与复变函数 ——复变函数篇 主讲教师：徐乐 2014 年 9 月24日星期三

复数概论 必复数 冬复数的表示 冬复数的运算 冬复球面 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

复数概论 复数 复数的表示 复数的运算 复球面 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2

复数 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧 拉、达朗贝尔等先驱 冬而这门学科的发展作了大量奠基工作的是柯 西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历 史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为 数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一 些学科的发展，并且常常作为一个有力的工 具被应用在实际问题中，它的基础内容已成 为理工科很多专业的必修课程。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

复数 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧 拉、达朗贝尔等先驱 而这门学科的发展作了大量奠基工作的是柯 西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历 史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为 数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一 些学科的发展，并且常常作为 个有力的工 一 具被应用在实际问题中，它的基础内容已成 为理工科很多专业的必修课程。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 为理工科很多专业的必修课程

复数 冬复变函数的应用涉及面很广 ■可以用来解决复杂的计算 ■物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的 计算就是通过复变函数来解决的。 ·俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复 变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运 用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的 问题上也做出了贡献。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

复数 复变函数的应用涉及面很广  可以用来解决复杂的计算  物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的 计算就是通过复变函数来解决的。  俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复 变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运 用复变 数论解决流体力学 航 力学 的 复变函数论解决流体力学和航空力学方面的 问题上也做出了贡献。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4

复数 冬二次方程 x2+1=0 ·由二次方程求解公式可得： X12 =tv-1 ·实数域中无解 ·引入虚数单位：i,且： i= 水2=i lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

复数 二次方程 1 0 2 x    由二次方程求解公式可得： 1,2 x   1  实数域中无解  引入虚数单位：i，且：i  1 1,2 x  i lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5

复数 对于任意两个实数x,y,称z=x+y为复数 ·x为复数z的实部，x=Re() ■y为复数z的虚部，y=m) ·x=0,y0,则复数y称为纯虚数； ·0，y=0,则复数x成为实数； ·两个复数相等，必须且只须它们的实部和虚部 分别相等 元0 2=x+yi=0 y=0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 6

复数 对于任意两个实数x，y，称z=x+yi为复数  x为复数z的实部，x=Re(z)  y为复数z的虚部，y=I () m z  x = 0 ，y ≠0，则复数 z=yi 称为纯虚数；  x≠0 ， y = 0，则复数 z=x 成为实数；  两个复数相等，必须 只须它们的实部和虚部 必须且只须它们的实部和虚部 分别相等 0 z x    yi 0 x  y  0 0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6

复数的表示 冬一般表示法 z=x+yi ·任意一个复数z都与一对实数（飞，y)一一对应； ■任意一个复数z都与复平面上的点化，y)一一对应 ·“数z”与“点z”同义 (x,y) ·以x轴为复平面的实轴 ·以y轴为复平面的虚轴 ·“数z”也与从原点指向“点z”的平面向量一一对应 ·复平面一般标记为z平面或者w平面 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

复数的表示 一般表示法  任意一个复数z都与一对实数(x y)一一对应 z x yi    任意 个复数z都与 对实数(x,y) 对应；  任意一个复数z都与复平面上的点(x,y)一一对应 • “数z”与“点z”同义 以 轴为复平面的实轴 y (x,y) • 以x轴为复平面的实轴 • 以y轴为复平面的虚轴 x • “数z”也与从原点指向“点z”的平面向量一一对应 复平面 般标记为 平面或者 平面 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 • 复平面一般标记为z平面或者w平面

复数的表示 ·以几何语言和方法来研究复变函数可使其能够广 泛应用于实际 复数z与平面向量 PK,y以 |z=r=、 /x2+y2 0 xz,y≤z x+ly 辐角 Argz =0 I8(Arg=)= lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论D 8

复数的表示 以几何语言和方法来研究复变函数可使其能够广 泛应用于实际 复数z与平面向量 y P(x,y) 2 2 | | x O z  r xy   x zy z   || || , | || | | | | || | | | z  x y  Argz   ( ) y tg Argz x 辐角  lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8

复数的表示 冬辐角 0时，以正实轴为始边，表示z的向量为终边的角0的 弧度称为z的辐角 ·z=0时，辐角不确定 ·任何一个0时的复数，辐角无穷多 Argz=O,+2kπ 辐角主值 ·在z(0)的辐角中，满足-π<0，≤r的0称为Agz的主值， 记作 00 argz lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

复数的表示 辐角  z≠0时，以正实轴为始边，表示z的向量为终边的角θ的 弧度称为z的辐角  z =0时，辐角不确定  任何一个z≠0时的复数，辐角无穷多 辐角主值 1 Argz k    2  辐角主值  在z(≠0)的辐角中，满足-π<θ0≤π的θ0称为Argz的主值， 记作 0   argz lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9

复数的表示 辐角主值的计算 0,y∈R x x=0,y≠0 argz 2 arcg'±z x<0,y≠0 X π x<0,y=0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 。。··。·。10

复数的表示 辐角主值的计算 2 2 y arc tg x       y x yR   0, y arc tg x argz    x x y  0, 0  2 x  argz   O x y  0, 0  2 y arc tg x   x y  0, 0  x  lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10