西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2011）第19讲 留数基础

西安电子科枝大学 电子工程学院《D School of Electronic Engineering.Xidian University http:/ .xidian.edu.cn edu.cr 场论与复变函数 xuamail.x 主讲：徐乐 2011年12月25日星期日

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Review ■ 双边幂级数 。在圆环域内收敛，且在收敛圆环域内其和函数 解析，可以逐项求导和逐项积分 洛朗级数fe)=∑c,》 ■ ·在圆环域内处处解析的函数必能展成洛朗级数 ■Notl:2o为洛朗级数一般项的奇点，但不一定是函数fz的奇 点： Note2: 给定复平面内一点z。,则在以，为中心的 一个解析环域内洛朗展开式是唯一 ·不同解析环域内洛朗展开不唯一 。Note3:洛朗展开式的收敛园环域的圆周上必有fe)的奇点 lexu@mail.xidian.edu.cn

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Review 洛朗级数与泰勒级数 edu.Cx ·在圆域z-z<R内解析的函数可在Z展开成泰 勒级数 ·在圆环域R1<z-z水R2内解析的函数可在Zo展开 成洛朗级数 ■若函数在z2R2内解析，则洛朗级数变成泰勒级数， 即泰勒级数是洛朗级数的特殊形式 -I 3aA。5(5-广产6=0 lexu@mail.xidian.edu.cn

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Review 洛朗级数展开的方法： 。直接法：通过定义求解 n.edu.c ·间接法：通过间接方法展 ■洛朗级数的应用： ·若C为圆环域R,<zzo<R2内的任意一条简单闭 曲线，且z)在圆环域内解析 ∮。f5)d5=2xic) lexu@mail.xidian.edu.cn

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第19讲留数基础 孤立奇点 可去奇点 极点 本性奇点 零点 amail.xidian.edu.cn 函数的零点与极点 函数在无穷远点的性态 lexu@mail.xidian.edu.cn 5

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孤立奇点 。人 奇点 ■孤立奇点 ·函数在z0不解析 ·但在z,的去心领域0<z-z<δ内处处解析 ·则z0称为f()的孤立奇点 0 sin nπ lexu@mail.xidian.edu.cn

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孤立奇点 由洛朗级数展开性质可知，函数在其孤立 奇点的去心领域内必可展开成洛朗级数 ■ 根据洛朗展开式的不同特点，可将孤立奇 点分为三类： ·可去奇点 。7 极点 ·本性奇点 lexu@mail.xidian.edu.cn

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可去奇点 可去奇点 edu. 。若洛朗级数中不含220负幂项，则孤立奇点z0 称为函数f(z)的可去奇点 02-20δ f(a)= ∑c.c-o 9.=02n51,-2,,-o0 fa)= c.e-o) n=0 令F(a)=】 c.(e-O在2内解机 显然F(z)=f(z),z≠20 lim f(z)=lim F()=F(z)=co →20 2→20 20可去奇点 令f(z,)=c fa)=∑c(a-o2-k8 z)在2-zo<δ内解析 1=0 lexu@mail.xidian.edu.cn

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可去奇点 ■例1验证z0是 sin Z 可去奇点，并讨论函数在 可去奇点处的性质 ■解]显然，函数仅在z0处不解析，在除去此点的 复平面上解析，因此，z0是函数的孤立奇点 ■求解函数的洛朗级数可得： ·洛朗展开无负幂项，即该点为函数的可去奇点 显然，若令函数在z=0处的值为1) 则函数在z=0处解析 lexu@mail.xidian.edu.cn c0元1

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极点 极点 ·若洛朗级数的z-z。负幂项仅有有限个，且最高 负幂项为(z-z)y严，…则孤立奇点z称为函数 f(z的m级极点，即 f@=∑c.(+∑c,(e-2,m≥Lcn≠0 ▣具有m级极点的函数也可写成如下形式： f(） g(e)在2-z水6内解析 (2-o产8(2) g(20)≠0 8(2)=C-m+Cm1(2-2o)+Cm+2(z-zo月 lexu@mail.xidian.edu.cn 10

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