西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）07 Jordan标准形分析

1931 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年10月29日星期三

2014年10月29日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 冬第6讲Jordan标准形 ·酉对角化充要条件 "Jordan标准形 ·Jordan标准形的存在定理 ·多项式矩阵 ·多项式矩阵的初等变换 。多项式矩阵的标准形式 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 2

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第6讲 Jordan标准形  酉对角化充要条件  Jordan标准形 • Jordan标准形的存在定理  多项式矩阵 • 多项式矩阵的初等变换 • 多项式矩阵的标准形式

酉对角化 冬定理 "阶方阵A,酉相似于对角阵的充要条件是 ■A为正规阵（实或复） ·不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将 其对角化 ·实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 (若特征值全为实数，则可正交相似对角化) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 酉对角化 定理  n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是  A为正规阵（实或复） • 不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将 其对角化 • 实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 （若特征值全为实数，则可正交相似对角化）

Jordan标准形 Jordan标准形的存在定理 "任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下 Jordan标准形 J,(2)= J1() 0 J2(2) J,(2) Jordan块矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 ●●● 4

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 Jordan标准形 Jordan标准形的存在定理  任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下 Jordan标准形             = 0 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 1 s s J J J J λ λ λ              = i i i i i J λ λ λ λ 0 1 1 0 ( )   Jordan块矩阵

Jordan标准形 多项式矩阵（又称为阵） a11(2) 12(2) … 41n(2) A(2)= 421(2) 2(Z) a2n(2) 0n1(2) an2(2)…anm(2 ·称为的多项式矩阵 ■矩阵元素为的多项式 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 Jordan标准形 多项式矩阵（又称为λ阵）  称为λ的多项式矩阵  矩阵元素为λ的多项式             = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ n n nn n n a a a a a a a a a A       

Jordan标准形 ·多项式矩阵的初等变换 ·初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性 的前提下形式上变得简单 1.互换两行（列) 2.以非零常数乘以某行（列） ·这里不能乘以的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵 的秩和属性 3.将某行（列)乘以的多项式加到另一行（列) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 6

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 Jordan标准形  多项式矩阵的初等变换  初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性 的前提下形式上变得简单 1. 互换两行（列） 2. 以非零常数乘以某行（列）  这里不能乘以λ的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵 的秩和属性 3. 将某行（列）乘以λ的多项式加到另一行（列）

Jordan标准形 冬多项式矩阵的标准形式 ■采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式 d(2) d2(2) A(2)→ d,(2) 不变因子 i阶行列式因子 0 0 。 多项式d()是首一多项式（首项系数为1，即最高幂 次项的系数为1) D(2 ·且d以(2)是d+1(2)的因式 d,()- D-（2) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 Jordan标准形 多项式矩阵的标准形式  采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式 • 多项式di (λ)是首一多项式（首项系数为1，即最高幂 次项的系数为1） • 且di (λ)是di+1(λ)的因式                   → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 1   λ λ λ λ r d d d A ( ) ( ) ( ) 1 i i i D d D λ λ − λ = 不变因子 i 阶行列式因子

Jordan标准形 Jordan标准形的求法 ·求出特征矩阵(I-A)的初等因子组 (-元)m(2-)、、(2-2,)m ·写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个 Jordan:块矩阵) 「21 0 (2-2)m→J(2)= 0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 ●●● 8

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 Jordan标准形 Jordan标准形的求法  求出特征矩阵（λI - A）的初等因子组  写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个 Jordan块矩阵） ( ) 1 1 m λ λ − ( ) () ×     −→ =         1 0 1 0   i i i i m i i ii i m m J λ λ λλ λ λ

Jordan标准形 冬Jordan标准形的求法 "合成Jordan矩阵 0 J2 J= lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 9

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 Jordan标准形 Jordan标准形的求法  合成Jordan矩阵             = s J J J J 0 0 2 1 

第7进Jordan标准形分析 Jordan标准形求解 Jordan标准形变换矩阵求解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10

lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 第7讲 Jordan标准形分析 Jordan标准形求解(II) Jordan标准形变换矩阵求解