西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2011）第18讲 洛朗级数

西安电子科枝大学 电子工程学院《D School of Electronic Engineering.Xidian University http: xidian.edu.cn edu.ci 场论与复变函数 xuamail.x 主讲：徐乐 2011年12月25日星期日

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Review 幂级数收敛半径的求法 1 。比值法 lim Cn+l =见≠0 R Cn 。根植法1imcm=u≠0 R 幂级数的运算性质 ·代数运算性质 ·复合运算性质 分析运算性质 它的和函数/@是收敛圆：aR内的解析函数 2)f(2)在收敛圆内导数可将其幂级数逐项求导得到 lexu@mail.xidian.edu.cn ,入左行h周大可灰T而国公

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Review ·将函数z)展开成一般项为c,n(z-ayr幕级数的步骤： ·Stepl:将函数z)作代数变形，使之分母出现z-a 。 Step2:再将其按照展开式为已知函数 含50 的形营藏61ge.0ga水 Step3:将 一展开式中的换成g(z)即可。 exu 1-5 lexu@mail.xidian.edu.cn

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Review ■泰勒展开式 代.Cy ·右端的级数称为z)在z的泰勒级数 ■泰勒展开定理 00 ·设函数z)在区域D内解析，2o为D内的一点，d为z到D 的边界上各点的最短距离，则当zz。K时，下式成立 )=2.e》 n! lexu@mail.xidian.edu.cn

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Review ■泰勒级数求解方法 。直接法 e-.edC◇ 。间接展开法 ·利用已知函数的幂级数展开式以及幂级数运算性质和分析性质， 依据唯一性确定泰勒展开 ■变量代换法 ■逐项积分法 ■逐项求导法 。 待定系数法 lexu@mail.xidian.edu.cn

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第18讲洛朗级数 洛朗级数 ■洛朗级数的应用 dian.edu.c ■洛朗级数与泰勒级 ecu(①mail lexu@mail.xidian.edu.cn

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洛朗级数 ■ 在以z为圆心的圆域内解析的函数f)可以在圆域 内展开成(zz)的幂级数 ■若fz)在z不解析，如何将函数展开成(z-z)的级数？ ·研究解析函数在孤立奇点领域内的性质 ·是定义留数以及计算留数的必要基础 ·在许多应用中，往往需要将在z,不解析，但在z,去心领 域内解析的函数展开成级数 exu 洛朗级数 lexu@mail.xidian.edu.cn

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洛朗级数 B 考察级数 ·该级数当且仅当A、B均收敛时才收敛 ·A为常见的幂级数 ■收敛域为圆域，设其收敛半径为R2 ·B为负幂项级数 令行， 则级数B可改写成为级数C: _nS lexu@mail.xidian.edu.cn

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洛朗级数 edu.cx ·C为常见的正幂项级数 ■收敛域为圆域，设其收敛半径为R,即I<R时级数C 收敛 ■即当lz<R时，级数B收敛 ·令R,=1R,则有 R B收敛 z<R2 A收敛 lexu@mail.xidian.edu.cn

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洛朗级数 .xidi B ■显然，级数的收敛性由R,和R2决定： ·R>R2:级数处处发散 ·R,<R2:级数在圆环域R,<2-z<R2收敛 ·级数在圆环域外发散 。级数在圆环域边界上敛散性不定 lexu@mail.xidian.edu.cn 10

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