西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）01 线性空间

AN 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年9月24日星期三

矩阵论 主讲教师：徐乐 2014 年 9 月24日星期三

前言 矩阵理论是一门数学学科，是众多理工学 科的重要数学工具 ■是目前非常活跃的经典数学基础课程 ■现代科技各领域处理有限维空间形式与数量关 系的强有力工具 ·计算机科学与工程计算的核心一矩阵运算与求解 ·矩阵理论有着广阔的应用前景 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

前言 矩阵理论是一门数学学科，是众多理工学 科的重要数学工具  是目前非常活跃的经典数学基础课程  现代科技各领域处理有限维空间形式与数量关 系的强有力工具 • 计算机科学与工程计算的核心—矩阵运算与求解  矩阵理论有着广阔的应用前景 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3

发展 ·早期矩阵如幻方及拉丁方阵的研究历史悠久，最 早的幻方出现于中国的龟背图上，在《九章算术》 中也有相关描述 冬莱布尼兹，首先在1693年利用行列式来解题；而 加布里尔•克拉默率先利用行列式解联立线性方程 组，在1750年引进了克莱姆法则 ÷1800年著名数学家高斯发明高斯消去法，以及比 较慢的改良版本高斯一约当消去法 1848年西尔维斯特率先使用“matrix'”这个字 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

发展 早期矩阵如幻方及拉丁方阵的研究历史悠久，最 早的幻方出现于中国的龟背图上，在《九章算术》 中也有相关描述 莱布尼兹，首先在1693年利用行列式来解题；而 加布里尔•克拉默率先利用行列式解联立线性方程 组，在 1750 年引进了克莱姆法则 1800年著名数学家高斯发明高斯消去法，以及比 较慢的改良版本高斯－约当消去法 1848年西尔维斯特率先使用“matrix”这个字 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4

发展 英国数学家凯莱(A.Cayley,.1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立 者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来 凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲 授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发 表了大量的数学论文。 1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一 矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质 等 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,.1849-1917)的贡献是 不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，以合乎逻辑的形式整理了不 变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要 性质。 1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 ÷1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成 矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限 阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

发展  英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立 者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来  凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲 授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发 表了大量的数学论文。  1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 证明了别的数学家发现的一 些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质 等。  在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是 不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，以合乎逻辑的形式整理了不 变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的 些重要 并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要 性质。  1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。  1892 年，梅茨勒 (H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成 矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限 阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 5

发展 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质， 矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪 的发展，现在已成为独立的一门数学分 支—矩阵论 矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论 和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵 及其理论现已广泛地应用于现代科技的各 个领域。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

发展 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质， 矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪 的发展，现在已成为独立的一门数学分 支——矩阵论 矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论 和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵 及其理论现已广泛地应用于现代科技的各 个领域。 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6

第一讲线性空间 线性空间的定义及性质 线性空间的基与坐标 ·基变换与坐标变换 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

第 讲一 线性空间 线性空间的定义及性质 线性空间的基与坐标 基变换与坐标变换 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7

线性空间的定义及性质 必集合 ·笼统说是指一些事物（或者对象）组成的整体 ■集合的表示：枚举、表达式 ·集合的运算：并（U),交（∩） Notel:不含任何元素的集合称为空集合 Note2:集合的“和”(+)并不是严格意 义上集合的运算，因为它限定了集合中元 素须有可加性 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 8

线性空间的定义及性质 集合  笼统说是指一些事物（或者对象）组成的整体  集合的表示 ：枚举 、表达式  集合的运算：并（∪），交（ ∩ ） Note1：不含任何元素的集合称为空集合 Note2：集合的“和”（＋）并不是严格意 义上集合的运算 ，因为它限定了集合中元 素须有可加性 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8

线性空间的定义及性质 必数域 ■一种数集 ·对四则运算封闭（除数不为零） ·比如有理数域、实数域(R)和复数域(C) ·实数域和复数域是工程上较常用的两个数域 线性空间 ·线性代数最基本概念之一 ·学习现代矩阵论的重要基础 线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个 抽象 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

线性空间的定义及性质 数域  一种数集  对四则运算封闭 （除数不为零 ） • 比如有理数域、实数域（ R）和复数域（ C ） • 实数域和复数域是工程上较常用的两个数域 线性空间  线性代数最基本概念之一  学习现代矩阵论的重要基础  线性空间的概念是某类事物从量的方面的 个 线性空间的概念是某类事物从量的方面的 一 个 抽象 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9

线性空间的定义及性质 线性空间的定义： "设V是一个非空集合 ·其元素用xy,z等表示，并称之为向量 ■K是一个数域 ·其元素用k,,m等表示 ■如果满足两大类(8条)性质，称V为数域K上的 线性空间或向量空间 ■数域K为实数域时，V就称为实线性空间 ·数域K为复数域时，就称为复线性空间 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10

线性空间的定义及性质 线性空间的定义：  设 V是一个非空集合 • 其元素用 x y , , z 等表示 ，并称之为向量  K是一个数域 • 其元素用k,l,m等表示  如果 V满足两大类(8 条 ) 性质 ， 称 V为数域 K上的 线性空间 或向量空间  数域 K为实数域时， V就称为实线性空间  数域 K为复数域时 V就称为复线性空间 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论  数域 K为复数域时 ， V就称为复线性空间 10

线性空间的定义及性质 冬在V中定义一个“加法”运算： 即当x,y∈V时，有唯一的和x+y∈V(封 闭性)，且加法运算满足下列性质： ·（1)结合律x+(y+z)=(x+y)+z ■(2)交换律x+y=y+x ■(3)零元律存在零元素0，使 x+0=x (4)负元律对于任一元素x∈V,存在一元素 y∈V,使x+y=O,且称y为x的负元素， 记为(x)。则有x+（-)=0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

线性空间的定义及性质  在 V中定义 个一 个 “加法 ”运算 ：  即当 时，有唯一的和 （封 闭性），且加法运算满足下列性质 : x， y  V x  y  V 闭性），且加法运算满足下列性质 :  （ 1）结合律  （ 2 ）交换律 x  ( y  z )  ( x  y )  z x  y  y  x  （ 2 ）交换律  （ 3）零元律 存在零元素 0，使  （ 4 ）负元律 对于任 元素 ∈ V 存在 元素 x y y x x  O  x  （ 4 ）负元律 对于任 一元素x ∈ V，存在 一元素 y ∈ V ，使 ， 且称 y 为 x 的负元素， 记为 （ -x ） 则有 x  y  O 记为 （ -x ） 。则有 x  (  x )  O lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 11