西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）03 直和及线性变换

矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年9月24日星期三

矩阵论 主讲教师：徐乐 2014 年 9 月24日星期三

上讲回顾 第二讲线性空间及线性子空间 冬线性空间 冬坐标 基变换与坐标变换 冬线性子空间 冬定义及其性质 ”子空间的交与和 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

上讲回顾 第二讲 线性空间及线性子空间  线性空间  坐标  基变换与坐标变换  线性子空间  定义及其性质  子空间的交与和 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2

线性空间的坐标 坐标的定义 称线性空间V的一个基x,x2,…,x为V的一 个坐标系 x∈v"它在该基下的线性表示为： 2《传e五em=i2川 气，5,5n为x在该坐标系中的坐标或分量 (5,52,5n) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 3

线性空间的坐标  坐标的定义  称线性空间 V n的一个基x 1, x2 ,… , x n 为 V n的一 个坐标系  它在该基下的线性表示为： lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3

线性空间的坐标 x=(51,52,5m) y=(mn) →x+y=(51+71,52+72,5m+7n) x=(51,52,5n)→=(k51,k52,k53) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

线性空间的坐标 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4

基变换与坐标变换 同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的 冬基是不唯一的 ·研究基改变时坐标变换的规律 CC2…Cn b1y2,y]=x2,x C21 …C2m =,x,,xn Cn2·Cnm 过渡矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

基变换与 标变换 坐 同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的 基是不唯一的 研究基改变时坐标变换的规律 c c c 11 12  1        x x x C c c c c c c y y y x x x n n n n n , , , , , , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 1 2             c c c n1 n2  nn       过渡矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5

线性子空间的定义及其性质 必定义 ·V是数域K上的线性空间V的一个非空子集合 ■对V已有的线性运算满足以下条件 ·(1)如果x,ye乃，则x+y∈乃 ·(2)如果xey,keK,则re ·则称V是的一个线性子空间或子空间 冬性质 线性子空间V与线性空间享有共同的零元素 y,中元素的负元素仍在V中 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

线性子空间的定义及其性质 定义  V1是数域 K上的线性空间 V的一个非空子集合  对 V已有的线性运算满足以下条件 • •  则称 V1 是 V 的 个一 个线性子空间 或子空间  性质  线性子空间 V1与线性空间 V享有共同的零元素 中元素的负元素仍在 中 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6  V1中元素的负元素仍在 V1 中

线性子空间的定义及其性质 冬生成子空间 ·设x1,x2…,xm为V中的元素 ■它们所有线性组合的集合也是V的线性子空间 .im1acm ·称为由x1,x2…,xm生（张)成的子空间 ·记为L(x,x2…,Xm) ·或者Span(x,2…,xm) 若1，x2,xm线性无关，则dim{(x,x2,xm)}=m lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

线性子空间的定义及其性质 生成子空间  设 为 V 中的元素 它们所有线性组合的集合也是 V的线性子空间 m x , x , x 1 2   它们所有线性组合的集合也是 V的线性子空间      m k k i 1 2 称为由 生 （ 张 ）成的子空间          i ki xi ki K i m 1 , 1,2 , • 称为由 生 （ 张 ）成的子空间 • 记为 x x x m , , 1 2  1 2 (, , ) L m xx x  • 或者  若 线性无关 则 1 2 (, , ) m Span x x x  x x  x dim L ( x x x )   m lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7  若x 1 , x 2  , x m线性无关 ， 则 dim L ( x 1 , x 2 , x m )   m

线性子空间的定义及其性质 基扩定理 ·设V,是数域K上线性空间m的一个m维子空间 ■x1,x2…,xm是V的一个基 ·则这个基向量必可扩充为m的一个基 ·换言之 ·在m中必可找到n-m个元素xm+1,Xm+2,x: ·使得x,2…,x,成为m的一个基 ·这n-m个元素必不在V,中 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

线性子空间的定义及其性质 基扩定理  设 V1是数域 K上线性空间 Vn的一个 m维子空间  x x x 是 V1的 个基 一  则这 m个基向量必可扩充为 Vn的一个基 m x , x , x 1 2   换言之 • 在 Vn中必可找到n-m个元素 • 使得 成为 x1 2 , , x x  n Vn的一个基 1 2 , , mm n x x x    • 这n-m个元素必不在 V1 中 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8

子空间的交与和 必定义 ·设V、V,是线性空间的两个子空间 交 Y∩V2=xey,xe'y》 和 y,+V2=x+yxey,y∈V2} 维数公式 ·若V,和V,是线性空间V的子空间 ·则有dim(%,+V2)+dim(,ny2)=dimy,+dimV, lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

子空间的交与和 定义  设V1 、 V2是线性空间V的两个子空间 交 V1 V2  x x V1 , x V2  和 V1 V2  x  y x V1 , y V2  维数公式  若V1 和 V2是线性空间V的子空间  则有 1 2 1 2 dim 1 dim 2 dim(V V )  dim(V V )  V  V lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 

第三讲直和及线性变换 线性子空间的直和 ?线性变换的定义及性质 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论● ·。。。。。10

第三讲 直和及线性变换 线性子空间的直和 线性变换的定义及性质 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10